Çarpma

Çarpma, temel aritmetik işlemlerden biridir. Sayılarda çarpma, çarpılan sayının çarpan sayı kadar adedinin toplamının alınması işlemidir.

${\displaystyle {{a\times n=} \atop {\ }}{{\underbrace {a+\cdots +a} } \atop n}}$

45 x 256 = 11.520 işleminin Çin metodu ile çözümü. Bu yöntemde çarpılacak sayılar basamaklarına ayrılarak sütun ve satır başlarına yazılır. Her bir kutu çaprazlamasına ikiye bölünür. Satır ile sütunların çarpımları iki üçgen bölüme yerleştirilir. Örneğin şekilde 5 ve 2'nin çarpımı 1 ve 0 olarak ilk iki üçgene yerleştirilmiştir. Daha sonra çapraz kolonlar toplanır. Örneğin 5 + 3 + 4 = 12 işleminin birler basamağı olan 2 rakamı en sağa yazılmıştır ve 1 rakamı hemen solundaki çapraz kolona devretmiştir. Toplamalar da tamamlandıktan sonra soldan sağa en dıştaki rakamlar (koyu yazılanlar) işlemin sonucunu verir.

Örneğin 5 ile 4 sayılarının çarpılması demek 4 adet 5 sayısının toplanması, veya değişme özelliği uyarınca (aşağıda anlatıldığı üzere) 5 adet 4 sayısının toplanması anlamına gelir. Matematiksel olarak ifade etmek gerekirse: "5 * 4 = 5 + 5 + 5 + 5" ya da "5 * 4 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4".

Sayılarla değil, örneğin matrislerle ilgilenirken çarpma işleminin tanımı ve uygulaması farklılık gösterir.

Cebirsel ifadelerde x harfi değişken olarak kullanıldığından, cebirsel ifade sorularında ''x'' yerine ''.'' kullanılabilir.

Sayılarda çarpmanın özellikleri

tamsayılar kümesi, birim elemanlı, değişmeli bir halkadır. Çarpma, bu halkanın ikinci işlemidir. Kesirli sayılar kümesi ise bir cisimdir ve çarpma bu cismin ikinci işlemidir. Tanım gereği bazı matematiksel özelliklere sahiptir.

Kapalılık özelliği

İki tam/kesirli sayının çarpımı yine bir tam/kesirli sayıdır.

Birleşme özelliği

Üç tam/kesirli sayının çarpımında, işlemin yan yana hangi ikiliden başladığı sonucu değiştirmez, yani herhangi x, y, z tam/kesirli sayıları için: ${\displaystyle (x.y).z=x.(y.z)}$

Etkisiz eleman

1 (bir) sayısı, tam/kesirli sayılar kümesinde çarpma işlemine göre etkisiz elemandır.

${\displaystyle x.1=x}$

Ters elemanlar

Tam sayılar kümesinde 1 ve -1 hariç hiçbir elemanın çarpmaya göre tersi yoktur. Kesirli sayılar kümesinde çarpma işlemine göre, 0 hariç her elemanın tersi vardır.

Her x için, ${\displaystyle x.1/x=1}$

Değişme özelliği

İki tam/kesirli sayının çarpımında, elemanların yerleri değiştirildiğinde sonuç değişmez.

${\displaystyle x.y=y.x}$

Dağılma özelliği

Çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özelliği vardır.

${\displaystyle x.(y+z)=x.y+x.z}$

Yutan Eleman

Yutan eleman herhangi bir matematiksel işlemde, işlemin sonucunu kendisine dönüştüren elemandır. Çarpma işleminde sıfır (0) sayısı yutan elemandır zira sıfırın herhangi bir sayıyla çarpımı sıfıra eşittir:

${\displaystyle x.0=0}$

Yutan eleman, yalnızca tam ve kesirli sayılarda değil, herhangi bir halkada sıfırdan başka bir eleman olamaz. Bu nedenle sıfır elemanla örtüşür.

Kaynakça