0,999...

${\displaystyle 0{,}{\underline {9}}}$, ${\displaystyle 0{,}{\bar {9}}}$ veya ${\displaystyle 0{,}{\dot {9}}}$ şekillerinde gösterilen ve 1'e eşit olan matematiksel ifade. Bu eşitliğin ispatları:

0 ile sonsuza kadar devreden 9'lardan oluşan 0,99999... sayısı

Cebirsel ispatlar

Devirli Ondalık Sayılardan

Her rasyonel ifade sonlu sayıda rakam barındıran ondalık sayılarla ifade edilemez. Mesela;

${\displaystyle {\frac {5}{9}}=0{,}{\bar {5}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{3}}=0{,}{\bar {3}}}$ gibi. Eğer ikinci eşitliğin her iki tarafını 3 ile çarpacak olursak

${\displaystyle {\frac {3}{3}}=3\times 0{,}{\bar {3}}}$

${\displaystyle 1=0{,}{\bar {9}}}$ elde ederiz.

Dört İşlemden

0,(9) sayımıza matematik dilinde bilinmeyen ifadelere verilen x diyelim.

${\displaystyle x=0{,}{\bar {9}}}$

Her iki tarafı 10 ile çarpalım.

${\displaystyle 10x=9{,}{\bar {9}}}$

Her iki taraftan sayının kendisini, yani x i çıkaralım

${\displaystyle 9x=10x-x=9{,}{\bar {9}}-0{,}{\bar {9}}=9}$

Sadeleştirelim.

${\displaystyle x=1{\underline {}}}$

Limitten

Sayımızı limit dilinde ifade edelim:

${\displaystyle 0{,}{\bar {9}}\ldots =\lim _{n\to \infty }0{,}\underbrace {99\ldots 9} _{n}=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}{\frac {9}{10^{k}}}=\lim _{n\to \infty }\left(1-{\frac {1}{10^{n}}}\right)}$

n sonsuza giderken ${\displaystyle {\frac {1}{10^{n}}}}$ ifadesi 0'a eşittir. Dolayısıyla;

${\displaystyle =1-\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{10^{n}}}=1\,}$ dir.

Sonsuz Serilerden

Teorem:${\displaystyle |r|<1}$ ve a sabit sayı olmak üzere ${\displaystyle ar+ar^{2}+ar^{3}+\cdots ={\frac {ar}{1-r}}}$ dir.

Genel terimi ${\displaystyle r=\textstyle {\frac {1}{10}}}$ ve sabit sayısı 9 olan seri 0,(9)dur. Teorimizi sayımıza uygularsak

${\displaystyle 0{,}{\bar {9}}\ldots =9({\tfrac {1}{10}})+9({\tfrac {1}{10}})^{2}+9({\tfrac {1}{10}})^{3}+\cdots ={\frac {9({\tfrac {1}{10}})}{1-{\tfrac {1}{10}}}}=1.\,}$ olduğunu görebiliriz.

Dış bağlantılar

• Why does 0.9999… = 1 ? (İng. neden 0.(9)=1 ?13 Kasım 2018 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
• 0.999...=1 bir kanıt daha