Açık gönderim teoremi (karmaşık analiz)

Karmaşık analizde açık gönderim teoremi, U, karmaşık düzlem C 'nin bağlantılı açık bir altkümesiyse ve f : U → C sabit olmayan holomorf bir fonksiyonsa, o zaman f 'nin açık gönderim olduğunu ifade eder (yani U 'nun açık altkümelerini C 'nin açık altkümelerine gönderir).

Açık gönderim teoremi, holomorfi ve gerçel türevlenebilirlik arasındaki keskin farkı ortaya koyar. Mesela, gerçel sayılar üzerinde, f(x) = x² türevlenebilir fonksiyonu açık bir gönderim değildir çünkü (-1,1) açık aralığının görüntüsü [0,1) yarıaçık aralığıdır.

Teorem, örneğin, sabit olmayan bir holomorf fonksiyonun açık bir diski bir doğrunun parçasına örten bir şekilde gönderemeyeceğini gösterir.

Kanıt

Mavi noktalar g(z) 'nin sıfırlarını göstermektedir. Sivri siyah şekiller kutupları temsil etmektedir. U açık kümesinin sınırı kesik çigilerle gösterilmektedir. Burada bütün kutuplar açık kümenin dışındadır. Daha küçük olan kırmızı çember kanıtta kurulan B kümesidir.

f:U → C sabit olmayan holomorf bir fonksiyon olsun ve ${\displaystyle U}$ karmaşık düzlemin bağlantılı bir açık altkümesi olsun. ${\displaystyle f(U)}$'daki her noktanın ${\displaystyle f(U)}$'nun bir iç noktası olduğunu göstermeliyiz; yani ${\displaystyle f(U)}$ içindeki her noktanın ${\displaystyle f(U)}$ içinde yer alan bir diskin içinde olduğunu göstermeliyiz.

${\displaystyle U}$ içinde rastgele bir ${\displaystyle z_{0}}$ noktasını alalım. U açık olduğu için, bir ${\displaystyle d>0}$ bulabiliriz öyle ki z₀ etrafında, d yarıçaplı ${\displaystyle B}$ kapalı diski tamamen U içinde yer alır. U bağlantılı olduğu ve f, U üzerinde sabit olmadığı için, f 'nin B üzerinde sabit olmadığını biliyoruz. Görüntü noktası ${\displaystyle w_{0}=f(z_{0})}$ 'ı ele alalım. ${\displaystyle f(z_{0})-w_{0}=0}$ olur ve ${\displaystyle z_{0}}$, ${\displaystyle g(z)=f(z)-w_{0}}$ fonksiyonunun kökü olur.

g(z) 'nin sabit olmadığını biliyoruz ve d yi daha da azaltarak g(z) 'nin B içinde tek bir kökü olmasını sağlayabiliriz. (Sabit olmayan holomorf fonksiyonların kökleri izoledir.) e, B 'nin sınırındaki z değerleri için |g(z)| 'nin minimum değeri olsun (pozitif sayı). (B 'nin sınırı çemberdir ve bu yüzden tıkız kümedir. |(g(z)| sürekli fonksiyondur. Böylece, ekstremum değer teoremi bu minimumun varlığını kanıtlar.) ${\displaystyle w_{0}}$ etrafındaki ${\displaystyle e}$ yarıçaplı diski ${\displaystyle D}$ ile gösterelim. Rouché teoremi, ${\displaystyle w_{0}}$ 'a uzaklığı ${\displaystyle e}$ 'den az olan her ${\displaystyle w}$ için ${\displaystyle g(z)=f(z)-w_{0}}$ ve ${\displaystyle f(z)-w}$ 'nin B içinde aynı sayıda köke sahip olacağını ifade eder. Bu yüzden, ${\displaystyle D}$ içindeki her ${\displaystyle w}$ için, ${\displaystyle B}$ 'de ${\displaystyle f(z_{1})=w}$ olacak şekilde sadece bir tane ${\displaystyle z_{1}}$ vardır. Bu da, D diskinin ${\displaystyle f(U)}$ 'nun altkümesi olan f(B) 'de yer aldığı anlamına gelir.

Kaynakça

• Rudin, Walter (1966), Real & Complex Analysis, McGraw-Hill, ISBN 0-07-054234-1