Altuzay topolojisi

Topolojide altuzay topolojisi, ya da tetiklenmiş topoloji, topolojik bir uzay içinde bir altkümeye konulabilecek en doğal topolojidir. Bu topoloji verilmiş altkümeyeyse (topolojik) altuzay denir.

Matematiksel tanım

X bir topolojik uzay, A onun herhangi bir altkümesi olsun. B kümesi A'nın bir altkümesi olsun. Eğer B, X'teki herhangi bir açık kümenin A ile kesişimi şeklinde yazılabiliyorsa B'ye A'da açık diyeceğiz. Bu biçimde tanımlanan A'da açık tüm kümeler A'da bir topoloji oluşturur. Bunu ispatlamak için bir topolojinin sağlaması gereken üç koşulu denetlemek yeterli olacak. İlk olarak, boş küme A'da açıktır çünkü X'de açık boşküme ile A'nın kesişimidir; A da A'da açıktır çünkü X'te açık X ile A'nın kesişimidir. 2. ve 3. koşullar doğrudan doğruya X'teki topolojinin aynı koşulları sağlaması sayesinde sağlanır.

Örnek

• Standart topolojisiyle gerçel sayılar uzayında (${\displaystyle \mathbb {R} }$) tam sayılar altkümesinin (${\displaystyle \mathbb {Z} }$) tetiklenen topolojisine göre, tam sayılardan herhangi birkaç tanesi açık bir küme oluşturur. Örneğin, 10 tam sayısı, ${\displaystyle \mathbb {R} }$'de açık bir küme olan (9.5,10.5) açık aralığının ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ kümesiyle kesişimi olduğundan ${\displaystyle \mathbb {Z} }$'de açık bir kümedir.
• ${\displaystyle \mathbb {R} }$'den tetiklenen topolojisiyle A=[0,1) (soldan kapalı sağdan açık) aralığında [0,0.5) aralığı açıktır. Çünkü [0,0.5) aralığı ${\displaystyle \mathbb {R} }$'de açık (-0.5,0.5) aralığıyla A'nın kesişimdir. Öte yandan, [0,0.5) aralığı ${\displaystyle \mathbb {R} }$'de açık değildir.