Brocard noktaları

Brocard noktaları, geometride bir üçgen içinde yer alan özel noktalardır. Fransız matematikçi Henri Brocard'ın çalışmalarından dolayı bu adı almıştır.

Üç çemberin kesişim noktasında oluşturulmuş, bir üçgene ait Brocard noktası.

Tanım

Kenarları a, b ve c, köşeleri saat yönünün tersine doğru A, B ve C olarak adlandırılmış bir ABC üçgeninde, AP, BP ve CP sırasıyla c, a ve b kenarlarıyla eşit ω açısı yapacak şekilde bir P noktası bulunur.

${\displaystyle \angle PAB=\angle PBC=\angle PCA.\,}$

Bu P noktasına ABC üçgeninin birinci Brocard noktası ve ω açısına üçgenin Brocard açısı denir. Bu açı şu denklemi sağlar:

${\displaystyle \cot \omega =\cot \alpha +\cot \beta +\cot \gamma .\,}$

ABC üçgeninde AQ, BQ ve CQ doğru parçalarının sırasıyla b, c ve a kenarlarıyla eşit açı yapması şartını sağlayan bir Q, ikinci Brocard noktası, bulunur. Diğer bir deyişle

${\displaystyle \angle QCB=\angle QBA=\angle QAC}$

denklemi bu nokta için de geçerlidir. Dikkat çekici biçimde, bu ikinci Brocard noktası ile birinci Brocard noktası aynı Brocard açısına sahiptir. Yani

${\displaystyle \angle PBC=\angle PCA=\angle PAB}$

ve

${\displaystyle \angle QCB=\angle QBA=\angle QAC}$

birbirine eşittir.

İki Brocard noktası arasında yakın ilişki vardır; aslında ikisi arasındaki fark ABC üçgeninin açılarının hangi sırayla seçildiğine bağlıdır. Örnek verilirse, ABC üçgeninin birinci Brocard noktası, ACB üçgeninin ikinci Brocard noktasıdır.

ABC üçgeninin iki Brocard noktası birbirinin izogonal eşleniğidir.

Elde edilmesi

Brocard noktalarını oluşturmanın en iyi yolu için şöyle denebilir. Verilecek örnekte sadece birinci Brocard noktası ele alınacak ancak ikinci Brocard noktasını bulmak buna çok benzerdir.

A ile B noktalarından geçen, üçgenin BC kenarına teğet bir çember (bu çemberin merkezi AB'nin ortadikmesi ile B noktasından BC'ye dik olarak çizilecek doğrunun kesişim noktası olacaktır) oluşturulur. Simetrik olarak, B ile C noktalarından geçen, AC kenarına teğet ve A ile C noktalarından geçen, AB kenarına teğet çemberler çizilir. Bu üç çemberin ortak tek noktası, ABC üçgeninin birinci Brocard noktasıdır.

İkinci Brocard noktası aynı yöntemle tespit edilebilir.

Kaynakça

• Akopyan, A. V.; Zaslavsky, A. A. (2007), Geometry of Conics, Mathematical World, 26, American Mathematical Society, ss. 48-52, ISBN 978-08218-4323-9.
• Honsberger, Ross (1995), "Chapter 10. The Brocard Points", Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry, Washington, D.C.: The Mathematical Association of America.

Dış bağlantılar

• Üçüncü Brocard Noktası 10 Aralık 2006 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. MathWorld