Cauchy yakınsaklık testi

Cauchy yakınsaklık testi, sonsuz serilerin yakınsaklığını bulmak için kullanılan test yöntemlerinden birisidir.

${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }a_{i}}$

serisi ancak ve ancak şu koşulda yakınsaktır:

Her ${\displaystyle \varepsilon >0}$ için bir N${\displaystyle \in \mathbb {N} }$ sayısı varsa öyle ki

${\displaystyle |a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots +a_{n+p}|<\varepsilon }$

ifadesi ${\displaystyle n>N}$ olan tüm ${\displaystyle n}$ 'ler ve ${\displaystyle p\geq 1}$ için tutsun.

Bu testin çalışmasında bir sakınca yoktur çünkü seriler ancak ve ancak kısmi toplamları yani

${\displaystyle s_{n}:=\sum _{i=0}^{n}a_{i}}$

bir Cauchy dizisiyse yakınsaktır. Cauchy dizisinin tanımı ise şudur: Her ${\displaystyle \varepsilon >0}$ için bir N sayısı vardır öyle ki her n, m > N için

${\displaystyle |s_{m}-s_{n}|<\varepsilon }$

sağlanır.

m > n varsayabiliriz ve bu yüzden p = m - n olarak alabiliriz. Seri ise ancak ve ancak

${\displaystyle |s_{n+p}-s_{n}|=|a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots +a_{n+p}|<\varepsilon }$

ise yakınsaktır.

Ayrıca bakınız

• Seri (matematik)
• Yakınsak seriler

Bu makale PlanetMath'deki Yakınsaklık için Cauchy ölçütü maddesinden GFDL lisansıyla faydalanmaktadır.