Dörtyüzlüsel sayı

Dörtyüzlüsel (ya da tetrahedral / üçgen piramidal) sayı, üçgen tabanlı ve bir piramidi temsil eden biçimli sayıdır. n. dörtyüzlüsel sayı ilk n üçgensel sayının toplamına eşittir.

Ayrıt uzunluğu 5 birim olan piramit 35 küre içerir. Her katman ilk beş üçgensel sayıyı göstermektedir.

İlk on yedi dörtyüzlüsel sayı şunlardır:

1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, 286, 364, 455, 560, 680, 816, 969, …

n. dörtyüzlüsel sayı formülü 3. artan faktöriyelin 3. faktöriyele bölümü biçiminde gösterilir.

${\displaystyle T_{n}={n(n+1)(n+2) \over 6}={n^{\overline {3}} \over 3!}}$

Dörtyüzlüsel sayılar Pascal üçgeninde soldan ve sağdan dördüncü olarak konumlanmışlardır. Bu sayılar bu yüzden binom katsayılarını oluştururlar.

${\displaystyle T_{n}={n+2 \choose 3}}$

Dörtyüzlüsel sayılar istiflenmiş küreler biçiminde modellenebilmektedir. Örneğin, beşinci dörtyüzlüsel sayının (T₅ = 35) 35 bilardo topundan oluştuğu varsayılırsa bu topların 15'i en altta bulunan bilardo topu çerçevesinin içinde, 10'u hemen bunun üstünde, 6'sı bir üst düzeyde, 3'ü bunun hemen üstünde ve sonuncusu en üstte yer alacaktır.

A.J. Meyl 1878'de yalnızca üç dörtyüzlüsel sayının tam kare olduğunu kanıtlamıştır. Bunlar

T₁ = 1² = 1

T₂ = 2² = 4

T₄₈ = 140² = 19600

sayılarıdır.

Aynı zamanda kare piramidal sayı olan tek dörtyüzlüsel sayı 1'dir (Beukers, 1988). 1 ayrıca tam küp olan tek dörtyüzlüsel sayıdır.

Dörtyüzlüsel sayıların ilginç özelliklerinden bir diğeri bu sayıların bölmeye göre terslerinin sonsuz toplamının 3/2'ye eşit oluşudur. Bu toplam iç içe dizi yardımıyla hesaplanabilmektedir.

${\displaystyle \!\ \sum _{n=1}^{\infty }{6 \over {n(n+1)(n+2)}}={3 \over 2}}$

Taban uzunluğu 4 birim olan dörtyüzlü, dördüncü üçgensel sayı olan tetractysin 3 boyutlu benzeri olarak görülebilir. Tetractys Pisagorcular tarafından kutsal kabul edilmiştir.

Dörtyüzlüsel sayıların son basamağı tek-çift-çift-çift kalıbını izlemektedir.

Dörtyüzlüsel sayılar T₅ = T₄ + T₃ + T₂ + T₁ eşitliğini de sağlamaktadır.

Hem üçgensel hem dörtyüzlüsel olan sayılar

${\displaystyle Tr_{n}={n+1 \choose 2}={m+2 \choose 3}=Te_{m}}$

binom katsayısı eşitliğini sağlamaktadırlar.

Bu sayılar aşağıda sıralanmıştır.

Dörtyüzlü₁ = Üçgen₁ = 1

Dörtyüzlü₃ = Üçgen₄ = 10

Dörtyüzlü₈ = Üçgen₁₅ = 120

Dörtyüzlü₂₀ = Üçgen₅₅ = 1540

Dörtyüzlü₃₄ = Üçgen₁₁₉ = 7140

Kaynakça

Dış bağlantılar

• Eric W. Weisstein, Dörtyüzlü Sayı (MathWorld)
• Jim Delany, Geometric Proof of the Tetrahedral Number Formula28 Temmuz 2009 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi., The Wolfram Demonstrations Project