Denklik bağıntısı

Bağıntıda yansıma, simetri ve geçişme özelliği varsa bu bağıntı denklik bağıntısıdır.

Tanım ve özellikler

Bir kümede tanımlı yansıyan, simetrik ve geçişken bağıntı. Başka bir deyişle, ${\displaystyle \sim \ \subseteq A\times A}$ bağıntısı her ${\displaystyle x,y,z\in A}$ için

• ${\displaystyle x\sim x}$
• ${\displaystyle x\sim y\Leftrightarrow y\sim x}$
• ${\displaystyle x\sim y,y\sim z\Rightarrow x\sim z}$ özelliklerini sağlamalıdır.

Denklik bağıntısı, tanımlı olduğu kümeyi denklik sınıfı adı verilen altkümelere ayırır. İki denklik sınıfı tanım itibarıyla ya eştir ya da kesişimleri boş kümedir.

Örnekler

1. Tam sayılar kümesinde tanımlanmış ${\displaystyle x\sim y:\Leftrightarrow 4\ |\ x-y}$ bağıntısı bir denklik bağıntısıdır. "İkinci bileşenle birincinin farkı 4'e tam bölünebilir" anlamına gelen bu bağıntı yukarıdaki özellikleri sağlar (her ${\displaystyle x}$ tam sayısı için ${\displaystyle x-x=0}$'dır ve 0, 4'e bölünebilir; ${\displaystyle y-x}$ 4'e bölünebilirse ${\displaystyle x-y}$ de bölünebilir; son olarak ${\displaystyle y-x}$ ve ${\displaystyle z-y}$ 4'e bölünebilirse ${\displaystyle z-x}$'in de 4'e bölünebileceği açıktır). Bu bağıntı tam sayılar kümesini dörde bölümünden kalana göre 4 gruba ayırır.
2. Yönsüz bir çizgede iki düğümün birbirine bağlı olması, yani ${\displaystyle e_{i}=\{v_{i-1},v_{i}\}\in K,v_{i}\in D,n\in \mathbb {(} N)\cup \{0\}}$ olmak üzere ${\displaystyle v\thicksim w:\Leftrightarrow \exists \ v=:v_{0}\ e_{1},\ v_{1},\ ...\ v_{n-1},\ e_{n},\ v_{n}:=w}$, bir denklik bağıntısıdır. Bu bağıntı düğümlerin kümesini ayrık altkümelere ayırır. Bu altkümelere bağlı eleman adı verilir.
3. ${\displaystyle [0,1]\subseteq \mathbb {R} }$ kümesinde ${\displaystyle x\thicksim y:\Leftrightarrow x-y\in \mathbb {Q} }$ bir denklik bağıntısıdır. Bu bağıntının ayırdığı her altkümeden seçme aksiyomu yardımıyla bir temsilci seçersek Vitali kümesi adı verilen kümeyi elde ederiz. Bu kümenin özelliği, hiçbir ölçü ile ölçülememesidir.