Digama fonksiyonu

Matematik'te, digama fonksiyonu gama fonksiyonu'nun logaritmik türevi olarak tanımlanır:

${\displaystyle \psi (x)={\frac {d}{dx}}\ln {\Gamma (x)}={\frac {\Gamma '(x)}{\Gamma (x)}}.}$

kompleks düzlem'de ${\displaystyle \psi (s)}$ Digama fonksiyonu renkli bir ${\displaystyle s}$ noktasına karşı kodlanan değer ${\displaystyle \psi (s)}$. Güçlü renkler sıfıra yakın değerleri ve tonları gösteren ise argument değerleridir.

Bu poligama fonksiyonu'nun ilkidir.

Harmonik sayılar ile ilişkisi

Digamma fonksiyon'u, sıklıkla ψ₀(x), ψ⁰(x) veya ${\displaystyle \digamma }$ (eski yunan harfleriyle digama'nın gösterimi Ϝ'dir ) şeklinde gösterilir. Harmonik sayılar'la ilişkisi

${\displaystyle \psi (n)=H_{n-1}-\gamma \!}$

Burada H_n is the n 'inci harmonik sayıdır, ve γ Euler-Mascheroni sabiti'dir. yarı tam sayı değerleri için, açılım

${\displaystyle \psi \left(n+{\frac {1}{2}}\right)=-\gamma -2\ln 2+\sum _{k=1}^{n}{\frac {2}{2k-1}}}$

Integral Gösterimleri

integral gösterimi

${\displaystyle \psi (x)=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {e^{-t}}{t}}-{\frac {e^{-xt}}{1-e^{-t}}}\right)\,dt}$ şeklindedir.

${\displaystyle x}$ reel kısmının pozitif değerleri için geçerlidir.Bunu şöyle yazabiliriz

${\displaystyle \psi (s+1)=-\gamma +\int _{0}^{1}{\frac {1-x^{s}}{1-x}}dx}$

harmonik sayılar için Euler integrali'dir .

Seri formülü

Digamma negatif tam sayılar dışında kompleks düzlemde hesaplanabilir (Abramowitz and Stegun 6.3.16), yardımıyla

${\displaystyle \psi (z+1)=-\gamma +\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {z}{n(n+z)}}\right),z\neq -1,-2,-3,...}$

Taylor serisi

Digama Taylor serisi'nde z=1 verilerek elde edilen bir rasyonel zeta serisidir , . Burada

${\displaystyle \psi (z+1)=-\gamma -\sum _{k=1}^{\infty }\zeta (k+1)\;(-z)^{k}}$,

yakınsaklık için |z|<1. Burada, ${\displaystyle \zeta (n)}$ Riemann zeta fonksiyonu'dur.Bu seri ile kolayca Hurwitz zeta fonksiyonu'na karşılık gelen Taylor 'serisi elde edilebilir.

Newton serisi

Digama için Newton serisi Euler integral formulü ile :

${\displaystyle \psi (s+1)=-\gamma -\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k}}{s \choose k}}$

Burada ${\displaystyle \textstyle {s \choose k}}$ binom katsayısı'dır.

Refleksiyon formülü

Digama fonksiyonunu Gama fonksiyonu'na benzer bir refleksiyon formülü karşılar

${\displaystyle \psi (1-x)-\psi (x)=\pi \,\!\cot {\left(\pi x\right)}}$

Özyineleme formülü

tekrarlama ilişkisi'ne dayanılarak Digamma fonksiyonu

${\displaystyle \psi (x+1)=\psi (x)+{\frac {1}{x}}}$

Böylece,1/x için "teleskop" denilebilir , bu nedenle

${\displaystyle \Delta [\psi ](x)={\frac {1}{x}}}$

Burada Δ ileri diferansiyel operator'dür. Aşağıdaki formülle harmonik seri'nin kısmi toplamı tekrarlama ilişkisi'ne karşı gelir ,

${\displaystyle \psi (n)\ =\ H_{n-1}-\gamma }$

burada ${\displaystyle \gamma \,}$ Euler-Mascheroni sabiti'dir.

Daha genel bir ifade,

${\displaystyle \psi (x+1)=-\gamma +\sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {1}{k}}-{\frac {1}{x+k}}\right)}$

Gauss toplamı

Digama'nın Gaussian toplam formu

${\displaystyle {\frac {-1}{\pi k}}\sum _{n=1}^{k}\sin \left({\frac {2\pi nm}{k}}\right)\psi \left({\frac {n}{k}}\right)=\zeta \left(0,{\frac {m}{k}}\right)=-B_{1}\left({\frac {m}{k}}\right)={\frac {1}{2}}-{\frac {m}{k}}}$ şeklindedir.

Tam sayılar için ${\displaystyle 0<m<k}$. Burada, ζ(s,q) Hurwitz zeta fonksiyonu'dur ve ${\displaystyle B_{n}(x)}$ 'i Bernoulli polinomu'dur.Çarpma teoremi'nin özel bir durumu ;

${\displaystyle \sum _{n=1}^{k}\psi \left({\frac {n}{k}}\right)=-k(\gamma +\log k),}$

ve genelleştirilmiş şekli

${\displaystyle \sum _{p=0}^{q-1}\psi (a+p/q)=q(\psi (qa)-\ln(q)),}$

Burada q 'nun doğal sayı, ve 1-qa 'nın doğal sayı olmadığı varsayılmıştır. .

Gauss'un digama teoremi

Pozitif tam sayılar m ve k ( m < k ) şartıyla,digama fonksiyonunun Temel fonksiyon olarak ifadesi

${\displaystyle \psi \left({\frac {m}{k}}\right)=-\gamma -\ln(2k)-{\frac {\pi }{2}}\cot \left({\frac {m\pi }{k}}\right)+2\sum _{n=1}^{\lceil (k-1)/2\rceil }\cos \left({\frac {2\pi nm}{k}}\right)\ln \left(\sin \left({\frac {n\pi }{k}}\right)\right)}$

Hesaplama & yaklaşıklık

J.M. Bernardo AS 103 algoritmiyle ile x, gerçel bir sayı olmak üzere digama fonksiyonu hesaplanabilir,

${\displaystyle \psi (x)=ln(x)-{\frac {1}{2x}}-{\frac {1}{12x^{2}}}+{\frac {1}{120x^{4}}}-{\frac {1}{252x^{6}}}+O\left({\frac {1}{x^{8}}}\right)}$

veya

${\displaystyle \psi (x)=ln(x)-{\frac {1}{2x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (1-2n)}{x^{2n}}}}$

${\displaystyle \psi (x)=ln(x)-{\frac {1}{2x}}-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B(2n)}{2n(x^{2n})}}}$

n tam sayı, B(n) n 'inci Bernouilli sayısı ve ${\displaystyle \zeta (n)}$ Riemann zeta fonksiyonu'dur.

Özel değerler

Digama fonksiyonu için bazı özel değerler:

${\displaystyle \psi (1)=-\gamma \,\!}$

${\displaystyle \psi \left({\frac {1}{2}}\right)=-2\ln {2}-\gamma }$

${\displaystyle \psi \left({\frac {1}{3}}\right)=-{\frac {\pi }{2{\sqrt {3}}}}-{\frac {3}{2}}\ln {3}-\gamma }$

${\displaystyle \psi \left({\frac {1}{4}}\right)=-{\frac {\pi }{2}}-3\ln {2}-\gamma }$

${\displaystyle \psi \left({\frac {1}{6}}\right)=-{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {3}}-2\ln {2}-{\frac {3}{2}}\ln(3)-\gamma }$

${\displaystyle \psi \left({\frac {1}{8}}\right)=-{\frac {\pi }{2}}-4\ln {2}-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left\{\pi +\ln(2+{\sqrt {2}})-\ln(2-{\sqrt {2}})\right\}-\gamma }$

Ayrıca bakınız

• Matematiksel fonksiyonların listesi
• Trigama fonksiyonu

Kaynakça

• Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). "Psi (Digamma) Function." §6.3 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 258–259, 1972. See section §6.42 Eylül 2009 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
• Eric W. Weisstein, Digamma function (MathWorld)

Dış bağlantılar

• Cephes8 Aralık 2009 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. - C and C++ language special functions math library
• - Bernardo Statistical algorithm Psi(digamma function) computation, pp. 1