Eğrilik

Geometri'de iki çeşit eğrilik tanımlanır. Eğrilik ve özeğrilik. Tarihte ilk olarak 2-boyutlu ve 3-boyutlu uzayda parametrik eğrilerin eğriliği incelendi. Daha sonraki aşamada 2-boyutlu ve 3-boyutlu yüzeylerin eğriliği incelendi ve ortalama eğrilik, Gaussian eğrilik gibi kavramlar ortaya çıktı.

"Eğrilik" kavramı daha birçok uygulama buldu ve bölümsel eğrilik, sayıl eğrilik, Riemann tensör, Ricci eğrilik tensörü gibi kavramlar üretildi.

3-boyutlu uzayda eğrilik tanımı

3-boyutlu Öklit uzayında bir eğri düşünelim. Koordinat merkezinden eğri üzerindeki bir noktaya ulaşan konum vektörü ${\displaystyle \,\mathbf {r} (t)}$ bir parametreye (örnegin ${\displaystyle \,t}$ ile gösterilen zamana) bağlı olsun. Konum vektörünün gösterdiği noktadaki eğrilik şu şekilde hesaplanır:

${\displaystyle \kappa ={\frac {|\mathbf {r} '\times \mathbf {r} ''|}{|\mathbf {r} '|^{3}}}}$

Bu formülde ${\displaystyle \,\mathbf {r} '}$ hız vektörü, ${\displaystyle \,\mathbf {r} ''}$ ise ivme vektörüdür.

Frenet formülleri

Vektörler arasındaki bağıntılar.

${\displaystyle \mathbf {r} '=\mathbf {T} }$

${\displaystyle \mathbf {r} ''=\kappa \,\mathbf {N} }$

${\displaystyle \mathbf {r} '''=\kappa \,\mathbf {N} +\kappa (\tau \mathbf {B} -\kappa \mathbf {T} )}$

${\displaystyle \,\tau }$ burulma derecesidir.

Basit örnekler

Daire yarıçapını ${\displaystyle \,R}$ simgesiyle gösterirsek

• Doğru çizgi: ${\displaystyle \,\kappa =0\,\,\,\,\,\tau =0}$
• Daire: ${\displaystyle \,\kappa =1/R\,\,\,\,\,\,\tau =0}$
• Heliks: ${\displaystyle \,\kappa =1/R\,\,\,\,\,\,\tau >0}$