Gauss fonksiyonunun integrali

İntegralin yakınsaklaştırılması için burada f kesinlikle pozitif olmalıdır.

Keyfi bir Gauss fonksiyonunun integrali şöyledir:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }a\,e^{-(x+b)^{2}/c^{2}}\,dx=a|c|{\sqrt {\pi }}.}$

Bunun başka bir biçimi de şöyledir:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }k\,e^{-fx^{2}+gx+h}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }k\,e^{-f(x-g/(2f))^{2}+g^{2}/(4f)+h}\,dx=k\,{\sqrt {\frac {\pi }{f}}}\,\exp \left({\frac {g^{2}}{4f}}+h\right),}$

İspat

Gauss integrali;

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }ae^{-(x+b)^{2}/c^{2}}\,dx}$

a, b, c > 0 olan bazı reel sabitler, Gauss integralinde yerlerinde konularak hesaplanabilir. Öncelikle a sabiti, integral dışına çıkartılır. Ardından, x to y = x + b biçiminde değişken değiştirme yapılırsa integral şöyle olur:

${\displaystyle a\int _{-\infty }^{\infty }e^{-y^{2}/c^{2}}\,dy,}$

Burada ${\displaystyle z=y/|c|}$ biçiminde değişken değiştirme yapılırsa integral şöyle olur:

${\displaystyle a|c|\int _{-\infty }^{\infty }e^{-z^{2}}\,dz.}$

Burada aşağıdaki Gaussian integral yoğunluğu kullanılır:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-z^{2}}\,dz={\sqrt {\pi }},}$

Sonuçta aşağıdaki integral elde edilir:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }ae^{-(x+b)^{2}/c^{2}}\,dx=a|c|{\sqrt {\pi }}.}$