Hadwiger teoremi

Integral geometride (diğer adıyla geometrik olasılık teorisi), Hadwiger teoremi Rⁿ içinde dışbükey cisim üzerinde değerleri karakterize ederler. Bu Hugo Hadwiger tarafından sağlandı.

İçindekiler

Değerler

Diyelimki Kⁿ Rⁿ içinde tüm tıkız konveks kümelerin koleksiyonu olsun . Bir değerler bir fonksiyon v:Kⁿ → R böylece v(∅) = 0 ve, her S için,T ∈Kⁿ bu S∪T∈Kⁿ için,

${\displaystyle v(S)+v(T)=v(S\cap T)+v(S\cup T)~.}$

Bu Hausdorff metriği ile ilgili sürekli ise bir sürekli değerleme denir. Bir değerleme rijit hareketleri altında değişmez denir Eğer v(φ(S)) = v(S) her zaman S ∈ Kⁿ ve φ ya da bir öteleme veya Rⁿ'nin bir dönmedir.

Dörtlükütle integral

dörtlükütle integraller W_j: Kⁿ → R Steiner'in formül ile tanımlanır

${\displaystyle \mathrm {Hacim} _{n}(K+tB)=\sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}W_{j}(K)t^{j}~,}$

burada B Öklidyen toptur. Örneğin, W₀ hacimdir, W₁ yüzey ölçüsüne orantılıdır, W_n-1 genişlik ortalamasına orantılıdır, ve W_n sabit Hac_n(B)dir.

W_j bir değer bu n-j derecenin türdeşidir , bu ise,

${\displaystyle W_{j}(tK)=t^{n-j}W_{j}(K)~,\quad t\geq 0~.}$

Durumlar

Herhangi sürekli değerler v on Kⁿ üzerinde bu katı hareketler altında değişmezdir

${\displaystyle v(S)=\sum _{j=0}^{n}c_{j}W_{j}(S)~.}$

olarak gösterilebilir

Sonuç

Herhangi sürekli değerlerKⁿ üzerinde v bu katı hareket altında değişmezdir.ve derecenin homojenliği j W_n-j nin bir çoktur.

Kaynakça

Bir hesap ve Hadwiger teoreminin bir kanıtı bulunabilir

• Klain, D.A.; Rota, G.-C. (1997). Introduction to geometric probability. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-59362-X. MR 1608265.

Bir temel ve kendi kendine yeten kanıtı Beifang Chen tarafından verildi

• Chen, B. (2004). "A simplified elementary proof of Hadwiger's volume theorem". Geom. Dedicata. Cilt 105. ss. 107-120. MR 2057247.