Hausdorff uzay

Hausdorff uzay ya da T₂ uzay ya da ayrılmış uzay, herhangi iki noktasının birbirinden ayrık komşuluklara sahip olduğu topolojik uzay. Bir topolojik uzayı geometrik sezgiye yakın duruma getiren ilk kabullerden biri Hausdorffluk koşuludur (ya da T₂ koşulu). Örneğin bir Hausdorff uzayın her bir noktası, kapalı bir altuzaydır. Ayrıca bir Hausdorff uzayda her yakınsak dizinin, ağın ya da süzgecin yakınsadığı nokta tektir. Hausdorff koşulu, ilk olarak Alman matematikçi Felix Hausdorff tarafından önerilmiş ve onun adıyla anılır olmuştur.

Matematiksel tanım

X bir topolojik uzay olsun. Alınan herhangi iki noktası x₁ ve x₂ için iki açık komşuluk bulunabiliyorsa (U₁ ve U₂ olsun) ve bu komşuluklar birbirinden ayrıksa, yani U₁ ∩ U₂ = ∅ ise, X uzayına Hausdorff denir. Herhangi nokta çifti için böyle ayrık komşulukları bulunabilme koşuluna Hausdorff (T₂) koşulu ya da beliti denir. Bu koşul, bir topolojik uzay üzerine konulan ayrılma belitlerinden biridir.

Özellikler

Bir X Hausdorff uzayda sonlu sayıda noktadan oluşan kümeler kapalıdır. Aslında bunun için X'in [[T₁ uzay]] olması yeterlidir.

Bir x noktasının X 'in bir A altkümesinin limit noktası olması durumunda, x noktasının her komşuluğu A kümesinden sonsuz tane eleman içerir. Bunun tersi ise X 'in Hausdorff olduğuna bakmaksızın her durumda doğrudur.

X 'te tüm tıkız altuzaylar kapalıdır.

Bir Hausdorff uzayın her bir altuzayı da Hausdorff'tur. İki Hausdorff uzayın (kartezyen) çarpım uzayı Hausdorff'tur.

Bir X topolojik uzayının Hausdorff olmasıyla şu durumlar birbirine denktir:

• X 'te dizilerin (ve ağların ve süzgeçlerin) limitleri (varsa) tektir.
• X 'te her bir nokta, kendisini içeren tüm kapalı kümelerin kesişimidir.