Kutup (karmaşık analiz)

Karmaşık analizde kutup, ya da düzgün bir söylenişle meromorf bir fonksiyonun kutbu, 1/zⁿ 'nin z = 0 noktasındaki tekilliği gibi davranan matematiksel bir tekilliktir. Bu özellikle şu anlama gelir: Bir f(z) fonksiyonun z = a noktasındaki kutbu, z noktası a noktasına yaklaştıkça f(z)'yi sonsuza düzgün bir şekilde yaklaştıran noktadır.

Gama fonksiyonun mutlak değeri. Bu, fonksiyonun kutuplarda sonsuz olduğunu gösterir (solda). Sağda, gama fonksiyonun kutupları yoktur,fonksiyoın sadece hızlı bir şekilde artmaktadır.

Tanım

U, karmaşık düzlem C 'nin açık bir altkümesi olsun. a noktası U 'nun bir öğesi olsun ve f : U - {a} → C tanım bölgesinde holomorfik bir fonksiyon olsun. U - {a} 'daki her z noktası için

${\displaystyle f(z)={\frac {g(z)}{(z-a)^{n}}}}$

ifadesinin sağlandığı g : U → C fonksiyonu ve negatif olmayan bir n tam sayısı varsa, o zaman a 'ya f 'nin bir kutup noktası adı verilir. Yukarıdaki şartı sağlayan en küçük n sayısına ise kutbun mertebesi denilir. Mertebesi 1 olan bir kutba basit kutup denirken, mertebesi 0 olan bir kutba ise kaldırılabilir tekillik adı verilir.

Yukarıdaki çeşitli denk tariflerden ise şunlar çıkartılabilir:

Eğer n, a noktasındaki kutbun mertebesiyse, o zaman muhakkak yukarıdaki ifadede yer alan g fonksiyonu için g(a) ≠ 0 'dır. Böylece, a noktasının etrafındaki açık bir komşulukta holomorfik olan ve a 'da n inci mertebeden sıfır olan bir h fonksiyonu için

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{h(z)}}}$

diyebiliriz. Yani, literatür dışında bir dille söylenirse, kutuplar holomorfik fonksiyonların sıfırlarının terslerinde (kesir olarak) olur.

Ayrıca, g 'nin holomorfik olması yoluyla, f de

${\displaystyle f(z)={\frac {a_{-n}}{(z-a)^{n}}}+\cdots +{\frac {a_{-1}}{(z-a)}}+\sum _{k\geq 0}a_{k}(z-a)^{k}}$

şeklinde ifade edilebilir. Bu sonlu ana kısmı olan bir Laurent serisidir. U üzerindeki ∑_{k ≥ 0}a_k (z - a)^k holomorfik fonksiyonuna f 'nin düzenli kısmı denir. Böylece, a noktasının f 'nin n mertebeli bir kutup noktası olması ancak ve ancak f 'nin a noktası etrafındaki Laurent serisi açılımındaki derecesi -n 'den küçük olan terimler yoksa ve -n dereceli terim sıfırdan farklıysa mümkündür.

Notlar

Eğer f 'nin birinci türevinin a noktasında basit bir kutbu varsa, o zaman a 'ya f 'nin dallanma noktası adı verilir. (Tersi durum doğru olmak zorunda değildir).

Kutup veya dallanma noktası olmayan kaldırılamaz bir tekilliğe esaslı tekillik adı verilir.

Bazı izole edilmiş noktalar dışında holomorfik olan ve tekillikleri sadece kutuplar olan karmaşık bir fonksiyona meromorf fonksiyon adı verilir.

Ayrıca bakınız

• Sıfır (karmaşık analiz)
• Kalıntı (karmaşık analiz)
• Elektronik filtre

Dış bağlantılar

• MathWorld'deki ilgili bilgi9 Haziran 2019 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
• Sıfırlar ve Kutuplar Modülü, John H. Mathews tarafından