Levi-Civita bağlantısı

Riemann geometrisinde,Levi-Civita bağlantısı bir manifoldun tanjant demeti üzerinde bir özel bağlantıdır. Daha özel olarak, bu torsiyonsuz metrik bağlantıdır, yani verilen bir Riemann metriği sözde-Riemannyen manifold tanjant demeti(bir ilgin bağlantı) üzerinde korunan torsiyonsuz bağlantıdır.

Bu bağlantı Riemannian geometrinin temel teoreminin bu özelliklerini karşılayan benzersiz bir bağlantıdır

Riemannyen teorisi içinde ve sözde-Riemannyen manifoldların eşdeğişkin türev terimleri içinde sıklıkla Levi-Civita bağlantısı kullanılıyor. Bu bağlantının yerel koordinatlarının bilesenlerinin bir sistemine sırasıyla Christoffel sembolleri denir.

Levi-Civita bağlantısı her ne kadar ilk kez Tullio Levi-Civita tarafından adlandırılsa da ilk araştırma Elwin Bruno Christoffel tarafından yapılmıştır. İçsel türevinin Levi-Civita gösterimi ve bir eğri boyunca bir vektörün paralel yer değiştirmesi başlangıç hareketi belirli bir gömme üzerine dayanıyor olsa bile, soyut bir Riemann manifoldu üzerinde anlam ifade eder

${\displaystyle M^{n}\subset \mathbf {R} ^{\frac {n(n+1)}{2}},}$

ile Christoffel sembollerinın tanımı herhangi Riemanniyen manifold içinde mantıklıdır. 1869 yılında, Christoffel bir karşıdeğişkin vektörün bileşenleri olarak bir vektör dönüşümünün içsel türevlerinin bileşenlerini araştırdı.Bu araştırma tensör analizinin gerçek başlangıcı idi.1917'den öncesinde Levi-Civita ilgin uzay ortamı içinde kullanılan türevlerin tanjensiyel bileşenleri olarak bir gömülü yüzeyin durumu içinde içsel türevi yorumladı.

Resmi tanım

Diyelimki (M,g) bir Riemannyen manifold (veya sözde-Riemannyen manifold) olsun. O zaman bir ilgin bağlantı ∇ eğer

1. bu metrik korunursa, yani, ∇g = 0.
2. Bu torsiyonsuzdur yani herhangi vektör alanları X ve Y için elimizde ∇_XY − ∇_YX = [X,Y] ise,(burada [X,Y] , X ve Y vektör alanı nìn Lie braketi dir).

bu bir Levi-Civita bağlantısıdır Yukarìda durum 1 bazı kaynaklara göre metrik ile uyumlu ve durum 2 bazen simetridir, bkz. Do Carmo'nun notları.

Varsayalım bir Levi-Civita bağlantısı var bu teklik belirler. Durum 1 kullanılır ve metrik tensör g nin simetrisini buluruz:

${\displaystyle X(g(Y,Z))+Y(g(Z,X))-Z(g(Y,X))=g(\nabla _{X}Y+\nabla _{Y}X,Z)+g(\nabla _{X}Z-\nabla _{Z}X,Y)+g(\nabla _{Y}Z-\nabla _{Z}Y,X).}$

Durum 2'nin sağ el tarafı şuna eşittir:

${\displaystyle 2g(\nabla _{X}Y,Z)-g([X,Y],Z)+g([X,Z],Y)+g([Y,Z],X)}$

böylece

${\displaystyle g(\nabla _{X}Y,Z)={\frac {1}{2}}\{X(g(Y,Z))+Y(g(Z,X))-Z(g(X,Y))+g([X,Y],Z)-g([Y,Z],X)-g([X,Z],Y)\}.}$

buluruz

Dolayısıyla Z keyfidir, bu teklik(eşsizlik) belirler ∇_XY. karsit bir tanım olarak son çizgi kullanılan tek gösterilen bu ifadesi bu şekilde tanımlanan metrik ile uyumlu bir bağlantıdır, yani bir Levi-Civita bağlantısıdır.

Christoffel sembolü

Diyelimki ∇ Riemanniyen metrik bağlantısı olsun.Yerel koordinatları ${\displaystyle x^{1}\ldots x^{n}}$ olarak seçelim ve diyelim ki ${\displaystyle \Gamma ^{l}{}_{jk}}$ sırasıyla bu koordinatların Christoffel sembolleri olsun. Torsiyonsuz durum 2 o zaman simetriye eşittir

${\displaystyle \Gamma ^{l}{}_{jk}=\Gamma ^{l}{}_{kj}.}$

Yukarıda Levi-Civita bağlantısının türevlerinin tanımı metriğin terimleri içinde bir Christoffel sembolü tanımına eşittir

${\displaystyle \Gamma ^{l}{}_{jk}={\tfrac {1}{2}}\sum _{r}g^{lr}\left\{\partial _{k}g_{rj}+\partial _{j}g_{rk}-\partial _{r}g_{jk}\right\}}$

burada ${\displaystyle g^{ij}}$ olarak kullanılan çift metrik tensörün katsayılarıdır, yani matrisin tersinin girişleri ${\displaystyle (g_{kl})}$.

Eğri boyunca türev

Levi-Civita bağlantısı (herhangi ilgin bağlantı gibi) ayrıca bir eğri boyunca tanımlanan türevdir, bazen D ile gösterilir.

(M,g) üzerinde verilen bir düzgün eğri γ ve bir vektör alanı V boyunca γ nın türevi

${\displaystyle D_{t}V=\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}V.}$ ile tanımlanır

(Resmiyette D geri-çekme demeti γ*TM üzerinde geri-çekme bağlantısıdır.)

Özel olarak, ${\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)}$ bir vektör alanı boyunca eğrilik γ dir. Eğer ${\displaystyle \nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}{\dot {\gamma }}(t)}$ yokolursa,eğriye eşdeğişkin türevin bir jeodeziği denir.

Eşdeğişkin türevin belli bir ölçüsünün Levi-Civita bağlantısı ise, bağlantı için geodezikler o zaman kendi yay uzunluğuyla orantılı ölçeklendirilmiş olan metrikin geodezikleri tam olarak budur .

Paralel Taşınım

Genel olarak, bir bağlantı ile ilgili olarak, bir eğri boyunca paralel taşınım eğrinin noktalarında tanjant uzaylar arasında eş yapılar(izomorfizmler) tanımlar.Bağlantı Levi-Civita bağlantısı ise, o zaman bu izomorfizmalar diktir- yani, onların çeşitli tanjant uzaylarda iç çarpımları korunur.

Levi-Civita bağlantısının paralel taşınımının aşağıda gösterilen görüntüleri düzlem üzerinde iki farklı Riemann metriği ile ilişkilidir; ve Kutupsal koordinatlar da ifade edilir. Soldaki görüntünün metriği standard Öklid uzunluğuna karşılık gelirken, sağdaki metrik kutupsal koordinatlardaki standart formdur, ve böylece sunulan ${\displaystyle \partial /\partial _{\theta }}$ vektörü çembere teğettir. Bu metrikte Öklidyen koordinatların merkezinde bir tekillik vardır

Levi-Civita Baglantisi altinda paralel tasinim

Bu tasinim ds² = dr² + r²dθ² metrigi ile verilir .

Bu tasinim ds² = dr² + dθ²metrigi ile verilir

Örnek:R³ içinde birim küre

Diyelim ki R³ üzerinde ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ skaler çarpımı kullanılıyor olsun. Diyelim ki S² R³ içinde birim küre olsun.m noktasında S² ya tanjant uzayı m e tüm ortogonal vektörlerin oluşturduğu R³'ün vektör alt-uzayı ile doğal denkliktir. Bu aşağıda S² üzerinde bir Y vektör alanı ,Y göndermesi olarak gösterilebilir: S² → R³, bu doyurucudur

${\displaystyle \langle Y(m),m\rangle =0,\qquad \forall m\in \mathbf {S} ^{2}.}$

gibi bir göndermenin diferansiyeli dY ile ifade edilir. O zaman elimizde olan :

Soru: formül

${\displaystyle \left(\nabla _{X}Y\right)(m)=d_{m}Y(X)+\langle X(m),Y(m)\rangle m}$

S² üzerinde bir afin bağlantı ile tanımlanan torsiyon yok olur.

Kanıt: Bunu basitçe kanıtlamak için basit ∇ Leibniz özdeşliği doyurucudur ve ilk değişken içinde C^∞(S²) doğrusaldır.Ayrıca bu bağlantının torsiyon serbest olduğunu göstermek için basit bir bir hesap işidir. Yani burada ispat gerektiğini her şeyden önce formülün aslında bir vektör alanını tanımlar olmasıdır. Yani, Bunun S²'de tüm m için olduğunu kanıtlamak gerekir

${\displaystyle \langle \left(\nabla _{X}Y\right)(m),m\rangle =0\qquad (1).}$

gönderme düşünüldüğünde

${\displaystyle {\begin{cases}f:\mathbf {S} ^{2}\to \mathbf {R} \\m\mapsto \langle Y(m),m\rangle .\end{cases}}}$

Gönderme fsabittir, bundan dolayı onun diferensiyeli kaybolur. Özel olarak

${\displaystyle d_{m}f(X)=\langle d_{m}Y(X),m\rangle +\langle Y(m),X(m)\rangle =0.}$

Denklem (1) yukarıda alttadır.${\displaystyle \Box }$

Aslında, Bu bağlantı Levi-Civita bağlantısı S² üzerindeki metrik için R³'den devralınandır. Gerçekten de, bu bağlantının metrik korur olduğunu kontrol edebilirsiniz.

Ayrıca bakınız

• Afin bağlantı
• Weitzenböck bağlantısı

Notlar

Kaynakça

Birincil tarihi kaynakça

• Christoffel, Elwin Bruno (1869), "Über die Transformation der homogenen Differentialausdrücke zweiten Grades", J. für die Reine und Angew. Math., cilt 70, ss. 46-70
• Levi-Civita, Tullio (1917), "Nozione di parallelismo in una varietà qualunque e consequente specificazione geometrica della curvatura Riemanniana", Rend. Circ. Mat. Palermo, cilt 42, ss. 73-205

İkincil kaynakça

• Boothby, William M. (1986). An introduction to differentiable manifolds and Riemannian geometry. Academic Press. ISBN 0-12-116052-1.
• Kobayashi, S., and Nomizu, K. (1963). Foundations of differential geometry. John Wiley & Sons. ISBN 0-470-49647-9. See Volume I pag. 158
• Spivak, Michael (1999). A Comprehensive introduction to differential geometry (Volume II). Publish or Perish Press. ISBN 0-914098-71-3.

Dış bağlantılar

• Hazewinkel, Michiel, (Ed.) (2001), "Levi-Civita connection", Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104
• MathWorld: Levi-Civita Connection7 Nisan 2014 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
• PlanetMath: Levi-Civita Connection26 Ekim 2004 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
• Levi-Civita connection7 Nisan 2014 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. at the Manifold Atlas