Standart normal dağılım

Normal dağılımı kullanarak bazı olasılık değerlerini elde etmek çok zor ve zahmetli bir iştir. Bu yüzden elde edilen normal dağılımın ortalaması 0 a ve varyansı da 1 e eşitlenerek daha kolay işlem yapılması sağlanabilir. Bu işlem için kullanılan yönteme ise standart normal dağılım denir.

${\displaystyle X\sim N(\mu ,\sigma ^{2})\,\!}$

şeklinde gösterdiğimiz normal dağılımın X değişkeninden, normal dağılımın ortalamasını çıkartıp standart sapmasına bölersek bir standartlaştırma işlemi yapmış oluruz ve bunu da şu şekilde gösteririz:

${\displaystyle {\frac {X-\mu }{\sigma }}\!=Z\sim N(0,1)\,\!}$

Örnek olarak bir sınıftaki not ortalaması 20 ve varyansı da 25 olan bir normal dağılımın 22 den daha az not alma olasılığını bulmak istersek;

${\displaystyle X\sim N(20,25)\,\!}$

şeklinde tanımımızı yaptıktan sonra bu verileri standart normal dağılım şekline dönüştürürüz:

${\displaystyle {\frac {22-20}{5}}\!=Z\sim N(0,1)\,\!}$

P(X<22) = P(Z<(22-20)/5) = P(Z<0.4) standart normal dağılım olasılığını elde ederiz. 0.4 olasılığını bulmak için standart normal dağılım tablosundan yararlanmamız gerekmektedir. Bulduğumuz sonucu yerine koyarsak P(Z<0.4) = 0.6554 olasılığını elde ederiz. Yani 22 den daha az not alma olasılığı yaklaşık %65 tir diyebiliriz. Bu tür veriler üniversitelerde not dağılımını hesaplamakta kullanıldığı için normal dağılımın diğer bir adı olan "çan eğrisi" olarak da adlandırılır.

Standart normal dağılımın olasılık gösterimleri

• P(Z>Z₀) = 1 - P(Z<Z₀)
• P(Z<-Z₀) = 1 - P(Z<Z₀)
• P(Z>-Z₀) = P(Z<Z₀) [Normal dağılımın simetrik olmasından dolayı da görülebilir]
• P(Z_a<Z<Z_b) = P(Z<Z_b) - p(Z<Z_a)
• P(-Z_a<Z<Z_b) = P(Z<Z_b) - [ 1 - P(Z<Z_a) ] = P(Z<Z_b) + P(Z<Z_a) - 1