Çebişev'in eşitsizliği

Olasılık kuramı ve istatistik bilim dallarında Çebişev'in eşitsizliği veya Bienaymé-Çebişev'in eşitsizliği özellikle olasılık ve daha nadiren gerçek veri setleri için bir teori sonucu olarak kullanılır.[1]

Bu eşitsizliğin önemi herhangi bir örneklem verisi veya olasılık dağılımı için veri değerlerinin "hemen tümü"nün ortalama değerine "yakın" olduğunu sağlamasındandır. Daha matematiksel bir ifade ile bir veri veya olasılık dağılımı değerlerinin (1/k²) oranınından daha büyük olmayan oranının ortalamadan artı ve eski k standart sapma açıklığı dışında bulunamayacağını bildirir. Bu eşitsizliğin geniş bir kapsamı vardır; zira sadece ortalama ve standart sapma verilirse, diğer her türlü niteliği hiç bilinmeyen veri veya olasılık dağılımlarına uygulanabilir.

Eşitsizliğin ifade edilme şekilleri

Olasılık kavramları ile ifade

Beklenen değeri μ ve sonsuz olmayan varyansı σ² olan bir rassal değişken olan X değişkenini ele alalım. O zaman, herhangi bir gerçel sayı olan k > 0, için

${\displaystyle \Pr(\left|X-\mu \right|\geq k\sigma )\leq {\frac {1}{k^{2}}}.}$

olur. Burada sadece k > 1 koşuluna uyan değerler kullanışlı bilgi sağlamaktadır. Bunun diğer eşit bir şekilde ifade edilmesi şöyle olur:

${\displaystyle \Pr(\left|X-\mu \right|\geq \alpha )\leq {\frac {\sigma ^{2}}{\alpha ^{2}}}.}$

Örnek olarak k = √2 değerini alırsak; değerlerin asgari yarısının şu açıklık içinde bulunduğunu bu eşitsizliğe göre kabul ederiz:

(μ − √2 σ, μ + √2 σ).

Sadece ortalaması ve standart sapması bilinen ve her türlü diğer nitelikleri hiç bilinmeyen dağılım veya verilere uygulandığı için ortaya çıkan sonuç, dağılımı daha tam olarak bilinen veri dağılımlardan ortaya çıkarabileceğimiz sonuçlardan daha fena sınırlar şeklinde olmaktadır.

Örneğin, elle yapılan dolum ortalama olarak 1.000 gram ağırlık vermektedir ve dolum ağırlığının standart dağılımı da 200 gramdır. O zaman bu tip bir dolum ağırlığını 600 ile 1400 gm arasında (yani ortalamadan arti eksi k = 2 SDs açıklıkta) olması oranının (3/4)den daha küçük veya (1/k² =0 1/4) den daha büyük olamayacağı Çebişev'in eşitsizliği dolayisiyla bilinir. Fakat bu bir dolum ağırlığının dağılımının normal dağılım olduğunu bilirsek o zaman dolumlardan %75inin 770 ile 1230 gm arasında olduğu bilinir. Görülmektedir ki ekstra bilgi, verilen sınırları daha da sıkılaştırmaktadır.

Örneğinde de görüldüğü gibi bu eşitsizlik tipik olarak gevşek sınırlar ortaya çıkartmaktadır Fakat bilinmektedir ki Çebişev'in eşitsizliği ortaya çıkan sınırlar fazla değişemez. Örneğin herhangi bir k ≥ 1, için σ = 1/k olan bir örnek için sınırlar tamamıyla tarif edilmiştir:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{}\Pr(X=-1)={\frac {1}{2k^{2}}},\\&{}\Pr(X=0)=1-{\frac {1}{k^{2}}},\\&{}\Pr(X=1)={\frac {1}{2k^{2}}}.\end{aligned}}}$

Bu dağılım için,

${\displaystyle \mathrm {Pr} \left(\left|X-\mu \right|\geq k\sigma \right)={\frac {1}{k^{2}}}.}$

olur. Bu dağılımın bir doğrusal dönüşümü olan herhangi bir dağılım için de aynen uygulanır. Eşitsizlik verilen dağılımın doğrusal dönüşümü olmayan herhangi bir dağılım için aynen uygulanır.

Ölçme teorisi ile ifadesi

(X, Σ, μ) bir ölçme uzayı olsun ve f ise X üzerinde tanımlanan bir genişletilmiş gerçel değerli ölçülebilir fonksiyon olsun. O zaman, herhangi bir t>0 gerçel sayısı için

${\displaystyle \mu (\{x\in X\,:\,\,|f(x)|\geq t\})\leq {1 \over t^{2}}\int _{X}f^{2}\,d\mu .}$

olur. Daha genel olarak, eğer g, f açıklığı içinde, negatif-olmayan genişletilmiş gerçel değerli ölçülebilir fonksiyon olsun; o zaman

${\displaystyle \mu (\{x\in X\,:\,\,f(x)\geq t\})\leq {1 \over g(t)}\int _{X}g\circ f\,d\mu .}$

Eğer g(t) ifadesini şöyle tanımlarsak

${\displaystyle g(t)={\begin{cases}t^{2}&{\mbox{eger }}t\geq 0\\0&{\mbox{diger halde,}}\end{cases}}}$

ve ƒ yerine |ƒ| ele alırsak, daha önce verdiğimiz ifade ortaya çıkar.

Kaynakça

1. Bu eşitsizlik ilk defa Fransız "Jules-Irenaeus Bienayme" tarafından 1853 yılında yayınlanmıştır ve birkaç yıl sonra bağımsız olarak Rus "Pafnutiy Çebışov" tarafından yeniden keşfedilmiştir.

• A. Papoulis (1991), Probability, Random Variables, and Stochastic Processes, 3. ed. McGraw-Hill. ISBN 0-07-100870-5. pp. 113–114. (İngilizce)
• Geoffrey Grimmett ve D. Stirzaker (2001), Probability and Random Processes, 3. ed. Oxford. ISBN 0-19-857222-0. Bölüm 7.3. (İngilizce)