Beklenen değer

Olasılık kuramı bilim dalında matematiksel beklenti veya beklenen değer veya ortalama birçok defa tekrarlanan ve her tekrarda mümkün tüm olasılıklarını değiştirmeyen rastgele deneyler sonuçlarından beklenen ortalama değeri temsil eder. Bir ayrık rassal değişkennin alabileceği bütün sonuç değerlerin (bazen ödemelerin) olasılıklarıyla çarpılması ve bu işlemin bütün değerler üzerinden toplanmasıyla elde edilen değerdir. Bir sürekli rassal değişken için rassal değişken ile olasılık yoğunluk fonksiyonunun çarpımının aralığı belirsiz integralidir. Fakat dikkat edilmelidir ki bu değerin genel pratik anlamla rasyonel olarak beklenmesi pek uygun olmayabilir, çünkü matematiksel beklentiin olasılığı çok düşük belki sıfıra çok yakın olabilir ve hatta pratikte matematiksel beklenti bulunmaz. Ağırlıklı ortalama olarak da düşünülebilir ki değerler ağırlık katsayıları verilen olasılık kütle fonksiyonu veya olasılık yoğunluk fonksiyonudur.

Tanım

Pratik örneklerle belirleme

Matematiksel beklenti, beklenen değer işlemcisi E ile gösterilir. Hileli yanlı olmayan bir altı-köşeli zar atılırsa mümkün değerler (1 2 3 ...6) olup her bir değerin olasılığı (1/6) olur. Böylece tek bir zar atımı için matematiksel beklenti

${\displaystyle \operatorname {E} (X)={\frac {1+2+3+4+5+6}{6}}=3,5}$

olur. Dikkat edilirse bu beklenen değer kesirsel olup gerçekte mümkün olan bir sonuç değildir.

Matematiksel beklenti kavramının pratikte çok kullanıldığı bir alan kumar oyunlarıdır. Bir Amerikan tipi rulet oyunu tekerleğinde dönen ufak topun her birine aynı olasılıkla girip kalabileceği numara verilmiş 38 küçük delik vardir. Eğer topun gireceği deliğin numarası için bahse girilirse ve bu bahiste doğru bilişte kazanç bahis-olasılığı ile 35-te-1 olur; yani sonuç bahisin 36 misli olup koyulan para kaybedilmeyip 35 misli daha kazanç sağlanır. Her bir sonuça bahis için iki mümkün olay kaybetme veya kazanma ve bu iki mümkün olay için (kumar için çok kere bahis-olasılığı ile ifade edilen) olasılık vardır. Toplam mümkün 38 tane sonuç olabileceğine göre, tek bir numaraya 1TL konulursa kazancın beklenen değerini bulmak için önce kaybetme para değeri ile kaybetme bahis-olasılığı çarpımı; sonra kazanma para değeri ile kazanma bahis-olasılığı çarpımı bulunup bu ikisinin toplamı alınır; yani

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\left(-1TL\times {\frac {37}{38}}\right)+\left(35TL\times {\frac {1}{38}}\right)\approx -0.0526TL.}$

1TL bahis için mali durumdaki değişme, kaybedince -1TL ve kazanınca 35TL olur. Böylece, ortalama olarak, her yapılan 1TL değerde bahis için zarar 5 kuruşu biraz geçecektir ve 1TLlik bahsin matematiksel beklentisi 0,9474TL olacaktır. Kumar oyunlarında, bir oyun için beklenen değer bahse koyulan değere eşitse (yani kumar oynayanın beklenen değeri 0 ise) o kumar oyunu "adil oyun" diye isimlendirilir.

Matematiksel tanım

Genel olarak, eğer ${\displaystyle X\,}$ ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,P)\,}$ olan bir olasılık uzayı içinde bir rassal değişken ise, o halde ${\displaystyle X\,}$in matematiksel beklentisi, notasyon olarak değer işlemcisi E kulanarak, ${\displaystyle \operatorname {E} (X)\,}$ veya bazen${\displaystyle \langle X\rangle }$, or ${\displaystyle \mathbb {E} (X)}$ olarak yazılır ve şöyle tanımlanır:

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\int _{\Omega }X\,\operatorname {d} P}$

Burada Lebesgue entegrasyonu uygulanmıştır. Dikkat edilmelidir ki bütün rassal değişkenler için matematiksel beklenti değeri bulunmaz; bu entegral bulunmayıp anlamsız ise (örneğin Cauchy dağılımı için) o halde beklenen değer de tanımlanamaz ve anlamsızdır. Ayni olasılık dağılımı gösteren iki rassal değişken için matematiksel beklenti aynıdır.

Eğer ${\displaystyle X}$ bir olasılık kütle fonksiyonu ${\displaystyle p(x)}$ olan bir ayrık rassal değişken ise, o halde beklenen değer şu olur:

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\sum _{i}x_{i}p(x_{i})\,}$

Eğer ${\displaystyle X}$ bir sürekli rassal değişken olup olasılık yoğunluk fonksiyonu ${\displaystyle f(x)}$ ise, o halde matematiksel beklenti veya beklenen değer şöyle bulunur:

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\int _{-\infty }^{\infty }xf(x)\,\operatorname {d} x.}$

Olasılık yoğunluk fonksiyonu f(x) olan rassal değişken X için herhangi bir rastgele seçilmiş fonksiyon g(X) için matematiksel beklenti veya beklenen değer şöyle verilir:

${\displaystyle \operatorname {E} (g(X))=\int _{-\infty }^{\infty }g(x)f(x)\,\operatorname {d} x.}$

Özellikler

Sabitler

Bir sabit k için matematiksel beklenti veya beklenen değer sabitin kendi değerine eşittir:

${\displaystyle \operatorname {E} (k)=k:k\in \mathbb {R} }$

Monotonluk

Eğer X ve Y iki rassal değişken ve ${\displaystyle X\leq Y}$ geçerli ise, o halde

${\displaystyle \operatorname {E} (X)\leq \operatorname {E} (Y)}$.

olur.

Doğrusallık

Beklenen değer işlemcisi${\displaystyle \operatorname {E} }$ şu anlamlarda doğrusal olur:

${\displaystyle \operatorname {E} (X+c)=\operatorname {E} (X)+c\,}$;

${\displaystyle \operatorname {E} (X+Y)=\operatorname {E} (X)+\operatorname {E} (Y)\,}$;

${\displaystyle \operatorname {E} (aX)=a\operatorname {E} (X)\,}$

Bu üç denklem sonucları birleştirilirse şu ifadeler bulunur:

${\displaystyle \operatorname {E} (aX+b)=a\operatorname {E} (X)+b\,}$

${\displaystyle \operatorname {E} (aX+bY)=a\operatorname {E} (X)+b\operatorname {E} (Y)\,}$

Burada ${\displaystyle X}$ ile ${\displaystyle Y}$ aynı olasılık uzayında bulunan rassal değişkenler ve ${\displaystyle a}$ ile ${\displaystyle b}$ reel sayılardır.

Ayrık rassal değişken için yinelenmiş beklenti

Herhangi iki ayrık rassal değişken ${\displaystyle X,Y}$ için koşullu beklenti şöyle tanımlanabilir:

${\displaystyle \operatorname {E} (X|Y)(y)=\operatorname {E} (X|Y=y)=\sum \limits _{x}x\cdot \operatorname {P} (X=x|Y=y).}$

Bundan ${\displaystyle \operatorname {E} (X|Y)(y)}$ ifadesinin ${\displaystyle y}$ üzerinde bir fonksiyon olduğu anlaşılır.

O zaman ${\displaystyle X}$ için beklenti şu ifadeyi tatmin eder:

${\displaystyle \operatorname {E} \left(\operatorname {E} (X|Y)\right)=\sum \limits _{y}\operatorname {E} (X|Y=y)\cdot \operatorname {P} (Y=y)\,}$

${\displaystyle =\sum \limits _{y}\left(\sum \limits _{x}x\cdot \operatorname {P} (X=x|Y=y)\right)\cdot \operatorname {P} (Y=y)\,}$

${\displaystyle =\sum \limits _{y}\sum \limits _{x}x\cdot \operatorname {P} (X=x|Y=y)\cdot \operatorname {P} (Y=y)\,}$

${\displaystyle =\sum \limits _{y}\sum \limits _{x}x\cdot \operatorname {P} (Y=y|X=x)\cdot \operatorname {P} (X=x)\,}$

${\displaystyle =\sum \limits _{x}x\cdot \operatorname {P} (X=x)\cdot \left(\sum \limits _{y}\operatorname {P} (Y=y|X=x)\right)\,}$

${\displaystyle =\sum \limits _{x}x\cdot \operatorname {P} (X=x)\,}$

${\displaystyle =\operatorname {E} (X).\,}$

Böylece şu denklem ortaya çıkartılır:

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\operatorname {E} \left(\operatorname {E} (X|Y)\right).}$

Bu denklemin sağ tarafı yinelenmiş beklenti adı ile anılır ve bazen kule kuralı adı da verilir. Bu toplam beklenti yasası maddesinde de incelenmiştir.

Sürekli rassal değişken için yinelenmiş beklenti

Herhangi iki sürekli rassal değişken ${\displaystyle X,Y}$ için de sonuçlar ayrık rassal değişkenler halinin tamamiyle benzeridir. Koşullu beklenti tanımı eşitsizlikleri kullanır; olasılık yoğunluk fonksiyonları ile entegralleri olasılık kütle fonksiyonları ile toplamalar yerlerini alırlar. Sonunda aynı sonuç ortaya çıkar:

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\operatorname {E} \left(\operatorname {E} (X|Y)\right).}$

Eşitsizlik

Eğer bir rassal değişken X diğer bir rassal değişken olan Yden daha az veya ona eşitse ise,

Eğer ${\displaystyle X\leq Y}$, o halde ${\displaystyle \operatorname {E} (X)\leq \operatorname {E} (Y)}$ olur.

Özellikle ${\displaystyle X\leq |X|}$ ve ${\displaystyle -X\leq |X|}$ oldukları için, bir rassal değişkenin matematiksel beklentisinin (veya beklenen değerinin) mutlak değeri, mutlak değerinin matematiksel beklentisinden daha küçük olur veya ona eşittir:

${\displaystyle |\operatorname {E} (X)|\leq \operatorname {E} (|X|)}$

Simgelenme

(${\displaystyle \operatorname {E} (X)<\infty }$) koşuluna uyan her bir negatif olmayan reel değerli rassal değişken X ve pozitif reel sayı ${\displaystyle \alpha }$ için şu formül her zaman geçerlidir:

${\displaystyle \operatorname {E} (X^{\alpha })=\alpha \int _{0}^{\infty }t^{\alpha -1}\operatorname {P} (X>t)\,\operatorname {d} t.}$

Özellikle bu daha da kısa olarak şöyle ifade edilebilir:

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\int _{0}^{\infty }\lbrace 1-F(t)\rbrace \,\operatorname {d} t.}$

Çarpımsallık özelliği olmama

Genel olarak E beklenen değer işlemcisinin çarpımsallık özelliği bulunmaz, yani ${\displaystyle \operatorname {E} (XY)}$ ile ${\displaystyle \operatorname {E} (X)\operatorname {E} (Y)}$ birbirine mutlaka eşit olmaz. Eğer çarpımsallık özelliği bulunursa, bu halde ${\displaystyle X}$ ve ${\displaystyle Y}$ rassal değişkenleri birbiri arasinda korelasyon bulunmayan değişkenler olarak tanımlanırlar. Aralarında bağımsızlık bulunan değişkenlerin birbirleri arasında korelasyon bulunmayan değişkenlere en önemli örneğin sağlarlar. Genellikle çarpımsal olmama özelliği kovaryasyon ve korelasyon analizlerine önemli bir neden sağlar.

Fonksiyonel daimilik olmaması

Genel olarak beklenen değer işlemcisi E'ye ve rassal değişkenler için fonksiyonlara değişmeli işlem uygulanamaz; yani

${\displaystyle \operatorname {E} (g(X))=\int _{\Omega }g(X)\,\operatorname {d} P\neq g(\operatorname {E} (X)),}$

Bu konuyla ilişkili en önemli konu konveks (veya konkav) fonksiyonlarla ilişkili olarak Jensen'in eşitsizliğidir.

Matrisler için beklenti

Matris matematiğine göre, ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle m\times n}$ dereceli bir matris ise o halde bu matrisin matematiksel beklentisi (veya beklenen değeri) matris elamanlarının ayrı ayrı matematiksel beklentilerinin (veya beklenen değerlerinin) matrisi olur:

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\operatorname {E} {\begin{pmatrix}x_{1,1}&x_{1,2}&\cdots &x_{1,n}\\x_{2,1}&x_{2,2}&\cdots &x_{2,n}\\\vdots \\x_{m,1}&x_{m,2}&\cdots &x_{m,n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\operatorname {E} (x_{1,1})&\operatorname {E} (x_{1,2})&\cdots &\operatorname {E} (x_{1,n})\\\operatorname {E} (x_{2,1})&\operatorname {E} (x_{2,2})&\cdots &\operatorname {E} (x_{2,n})\\\vdots \\\operatorname {E} (x_{m,1})&\operatorname {E} (x_{m,2})&\cdots &\operatorname {E} (x_{m,n})\end{pmatrix}}.}$

Bu sonuç kovaryans matrisleri için kullanılır.

Ayrıca bakınız

• Koşullu beklenti
• Konum ve ölçek parametreleri için bir eşitsizlik
• Pascal'ın Bahsi
• Momentler
• Beklenti değeri (kuantum mekanik)
• St.Petersburg paradoksu

Dış bağlantılar

• Beklenen değer, PlanetMath.org. (İngilizce)