Aritmetiğin temel teoremi

Birden büyük her doğal sayı, sonlu sayıda birtakım asal sayının çarpımı olarak yazılabileceğini ifade eden teoremdir. ii) Bu ayrılış ise sıra düşünülmeksizin tektir.

İspatı

i) Bu teorem'in ispatı, olmayana ergi yoluyla yapılır. Teoremin gerçek olmadığı varsayılır ve bir çelişki aranır. a)Söz konusu sayı asal sayı ise 1 ile kendisinin çarpımına eşit olacağından teorem ispatlanır. b)Sayı asal sayı değil ise kabulden hareket ederiz. Varsayalım ki "c" asal çarpanlarına ayrılamayan en küçük doğal sayı olsun. Bu durumda c asal olamayacağından 1<n ve m<c olacak şekilde m ve n doğal sayıları vardır ki c = m.n elde edilir. Fakat c sayısını asal çarpanlarına ayrılamayan en küçük doğal sayı aldığımız halde, bu kabuller altında m ve n asal çarpanlarına ayrılmış oldu. Bu durumda bir çelişkiye varıldığından ispat tamamlanmış olur.

ii) c sayısı asal sayı ise yukarıdaki ispata benzer şekilde bir ile kendisinin çarpımına eşittir. Eğer c bileşik sayı ise tanım gereği m ve n doğal sayıları vardır ki 1<m<c ve 1<n<c olmak üzere m.n=c şeklinde yazılabilir. m ve n doğal sayılarının her ikisinin de asal olması durumunda teorem ispatlanmış olur. Eğer değilse aynı yorumlar m ve n için de yapılarak tümevarımla ispatlanmış olur.