Atlas (topoloji)

"atlas"ın diğer kullanımları için, bakınız Atlas (disambiguation).

matematik 'te özellikle de topolojide ,bir atlasın kullandığı bir manifold tek tarifi,manifoldun bireysel bölgeler tanımı kabaca konuşmayla kartlar bireysel bir atlası oluşturur. Eğer manifold dünya yüzey ise,onun yani bir atlasın daha yaygın anlamı vardır. Genel olarak, atlas kavramı bir manifoldun resmi tanımını temelini oluşturmaktadır.

Kartlar

Bir kart'ın gösterimi üzerine bağımlı bir atlas tanımı. Bir kart bir topolojik uzay M (ayrıca koordinat kart veya koordinat gönderme denir) için Öklidyen uzayının bir açık alt kümesine M in bir açık altkümesi U dan bir ${\displaystyle \varphi }$ homeomorfizmdir.Kart geleneksel kayıtlarda çift sıralı olarak ${\displaystyle (U,\varphi )}$ dır.

Atlasın resmi tanımı

Bir atlas bir topolojik uzay M için M üzerinde kartların bir ${\displaystyle \{(U_{\alpha },\varphi _{\alpha })\}}$ koleksiyonudur böylece ${\displaystyle \bigcup U_{\alpha }=M}$. Eğer her kartın eşdomeni n-boyut Öklidyen uzayı ve atlas bağlantılı, iseM bir n-boyutlu manifold olduğu söylenir.

Geçiş göndermeleri

Bir geçiş haritası bir atlasın iki kartlarını karşılaştıran bir yol sağlar. Bu karşılaştırmayı yapmak için, diğerinin tersi olan bir kartın bileşimi göz önünde bulundurulur. tanımın kendi domenlerinin kesişmesine her iki kartlar kısıtlandığı sürece bu kompozisyon iyi tanımlanmış değildir. (Avrupa'nın bir kartı ve Rusya'nın bir kartı varsa Örneğin, o zaman bunların örtüşmesi üzerine bu iki kartı yani Rusya'nın Avrupa yakasını karşılaştırabilirsiniz.)

Daha net olmak gerekirse, varsayalım bu ${\displaystyle (U_{\alpha },\varphi _{\alpha })}$ ve ${\displaystyle (U_{\beta },\varphi _{\beta })}$ bir M manifold için iki kartlar böylece ${\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }}$ boş-olmayandır. geçiş haritası ${\displaystyle \tau _{\alpha ,\beta }:\varphi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \varphi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })}$ ile göndermeler tanımlanıyor

${\displaystyle \tau _{\alpha ,\beta }=\varphi _{\beta }\circ \varphi _{\alpha }^{-1}.}$

Unutmadan since ${\displaystyle \varphi _{\alpha }}$ ve ${\displaystyle \varphi _{\beta }}$ her iki homeomorfizmler, geçiş göndermesi ${\displaystyle \tau _{\alpha ,\beta }}$ ayrıca bir homeomorfizmdir.

Öte yapım

Sık sık basit topolojik yapıdan bir manifold üzerinde daha fazla yapı istenir. örneğin,tek bir manifold üzerindeki fonksiyonların diferansiyellenebilirliğine kesin bir kavramı istiyorsanız, o zaman onun geçiş fonksiyonlarının diferensiyellenebilirler olduğu bir atlas oluşturmak için gereklidir. Böyle bir manifolda differensiyellenebilir denir. Diferensiyellenebilir bir manifold göz önüne alındığında, belirsiz bir şekilde tanjant vektörler ve ardından yönlü türev kavramı tanımlayabilirsiniz. Her geçiş işlevi düzgün gönderme ise, atlasa bir Düzgün atlas denir, ve manifoldun kendisine düzgün denir. Alternatif olarak, geçiş haritalarının sadece ${\displaystyle C^{k}}$ atlas olduğu söylenir ki bu durum sürekli türevlerinin k olmasını gerektirebilir. Çok genel,her geçiş fonksiyonu Öklid uzay homeomorfizmleri bir ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ psödo-grubuna aitse , o zaman atlasa bir ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ atlas denir.

Kaynakça

• Lee, John M. (2006). Introduction to Smooth Manifolds. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-95448-6.
• Sepanski, Mark R. (2007). Compact Lie Groups. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-30263-8.

Dış bağlantılar

• Atlas21 Eylül 2008 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. by Rowland, Todd