Barrow eşitsizliği

Geometride Barrow eşitsizliği, bir üçgen içindeki rastgele bir nokta alındığında, bu nokta ile üçgenin köşeleri ve üçgenin kenarlarındaki belirli noktalar arasındaki mesafeleri ilişkilendiren bir eşitsizliktir. Adını Amerikalı bir matematikçi olan David Francis Barrow'dan almıştır.

Barrow eşitsizliği

Açıklama

${\displaystyle P}$, ${\displaystyle \triangle ABC}$ üçgeninin içinde rastgele bir nokta olsun. ${\displaystyle P}$ ve ${\displaystyle \triangle ABC}$'den, ${\displaystyle U}$, ${\displaystyle V}$ ve ${\displaystyle W}$'yi, ${\displaystyle \angle BPC}$, ${\displaystyle \angle CPA}$ ve ${\displaystyle \angle APB}$'nin açıortaylarının sırasıyla ${\displaystyle BC}$, ${\displaystyle CA}$, ${\displaystyle AB}$ kenarlarıyla kesiştiği noktalar olarak tanımlayın. Ardından Barrow eşitsizliği şunu belirtir:[1]

${\displaystyle PA+PB+PC\geq 2(PU+PV+PW),\,}$

Eşitlik sadece eşkenar üçgen durumunda sağlanır ve bu durumda ${\displaystyle P}$ üçgenin merkezidir.[1]

İspat

${\displaystyle d_{1}=PA}$, ${\displaystyle d_{2}=PB}$, ${\displaystyle d_{3}=PC}$, ${\displaystyle l_{1}=PU}$, ${\displaystyle l_{2}=PV}$, ${\displaystyle l_{3}=PW}$, ${\displaystyle 2\theta _{1}=\angle BPC}$, ${\displaystyle 2\theta _{2}=\angle CPA}$ ve ${\displaystyle 2\theta _{3}=\angle APB}$ olsun. İspat edilmesi gereken ifade ${\displaystyle d_{1}+d_{2}+d_{3}\geq 2(l_{1}+l_{2}+l_{3})}$ olur. Aşağıdaki özdeşlikleri çıkarmak kolaydır;

${\displaystyle l_{1}={\frac {2d_{2}d_{3}}{d_{2}+d_{3}}}cos\theta _{1}}$,

${\displaystyle l_{2}={\frac {2d_{1}d_{1}}{d_{3}+d_{1}}}cos\theta _{2}}$,

${\displaystyle l_{1}={\frac {2d_{1}d_{2}}{d_{1}+d_{2}}}cos\theta _{3}}$.

Aritmetik Ortalama-Geometrik Ortalama eşitsizliği ve yukarıdaki sonuçla, bu şu anlama gelir:

${\displaystyle l_{1}+l_{2}+l_{3}\leq {\sqrt {d_{2}d_{3}}}cos\theta _{1}+{\sqrt {d_{3}d_{1}}}cos\theta _{2}+{\sqrt {d_{1}d_{2}}}cos\theta _{3}\leq {\frac {1}{2}}(d_{1}+d_{2}+d_{3})}$

İstenen ifade ispatlanmış olur.

Genelleştirme

Barrow eşitsizliği dışbükey çokgenlere kadar genişletilebilir. Köşeleri ${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n}}$ olan dışbükey bir çokgen için ${\displaystyle P}$ çokgenin içindeki rastgele bir nokta ve ${\displaystyle Q_{1},Q_{2},\ldots ,Q_{n}}$, ${\displaystyle \angle A_{1}PA_{2},\ldots ,\angle A_{n-1}PA_{n},\angle A_{n}PA_{1}}$açıortayları ile ${\displaystyle A_{1}A_{2},\ldots ,A_{n-1}A_{n},A_{n}A_{1}}$ ilişkili çokgen kenarlarının kesişimleri olsun, ardından aşağıdaki eşitsizlik geçerlidir:[2][3]

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}|PA_{k}|\geq \sec \left({\frac {\pi }{n}}\right)\sum _{k=1}^{n}|PQ_{k}|}$

Burada ${\displaystyle \sec(x)}$ sekant fonksiyonunu belirtir. Üçgen durumu, yani ${\displaystyle n=3}$ için ${\displaystyle \sec \left({\tfrac {\pi }{3}}\right)=2}$ olduğundan eşitsizlik, Barrow eşitsizliğine dönüşür.

Tarihçe

Barrow, Erdös-Mordell eşitsizliğini güçlendirir
${\displaystyle {\begin{aligned}&\quad \,|PA|+|PB|+|PC|\\&\geq 2(|PQ_{a}|+|PQ_{b}|+|PQ_{c}|)\\&\geq 2(|PF_{a}|+|PF_{b}|+|PF_{c}|)\end{aligned}}}$

Barrow eşitsizliği, ${\displaystyle PU}$, ${\displaystyle PV}$ ve ${\displaystyle PW}$'nin ${\displaystyle P}$ noktasından üçgenin kenarlarına olan üç uzaklık ile değiştirilmesi haricinde aynı biçime sahip olan Erdős-Mordell eşitsizliğini güçlendirir. Adını David Francis Barrow'dan almıştır. Barrow'un bu eşitsizliğin kanıtı, 1937'de, Erdős-Mordell eşitsizliğini kanıtlayan American Mathematical Monthly dergisinde ortaya atılan bir probleme çözüm olarak yayınlandı.[1] 1961 gibi erken bir tarihte "Barrow eşitsizliği" olarak adlandırıldı.[4]

Daha basit bir kanıt daha sonra Louis J. Mordell tarafından verildi.[5]

Ayrıca bakınız

• Geometride Euler teoremi
• Üçgen eşitsizliklerin listesi

Kaynakça

1. Erdős, Paul; Mordell, L. J.; Barrow, David F. (1937), "Solution to problem 3740", American Mathematical Monthly, 44 (4), ss. 252-254, doi:10.2307/2300713, JSTOR 2300713.
2. M. Dinca: "A Simple Proof of the Erdös-Mordell Inequality". In: Articole si Note Matematice, 2009
3. Hans-Christof Lenhard: "Verallgemeinerung und Verschärfung der Erdös-Mordellschen Ungleichung für Polygone". In: Archiv für Mathematische Logik und Grundlagenforschung, Band 12, S. 311–314, doi:10.1007/BF01650566 (Almanca).
4. Oppenheim, A. (1961), "New inequalities for a triangle and an internal point", Annali di Matematica Pura ed Applicata, cilt 53, ss. 157-163, doi:10.1007/BF02417793, MR 0124774
5. Mordell, L. J. (1962), "On geometric problems of Erdös and Oppenheim", The Mathematical Gazette, 46 (357), ss. 213-215, JSTOR 3614019.

Dış bağlantılar

• Hojoo Lee: Eşitsizliklerle İlgili Konular - Teoremler ve Teknikler
• Barrow's Inequality @ Wolfram Demonstrations Project

İlave okumalar

• Malesevic, Branko & Petrovic, Maja. (2014). Barrow's Inequality and Signed Angle Bisectors. Journal of Mathematical Inequalities. 10.7153/jmi-08-40., Makale veya Makale
• Liu, Jian. (2016). Refinements of the Erdös-Mordell inequality, Barrow’s inequality, and Oppenheim’s inequality. Journal of Inequalities and Applications. 2016. 10.1186/s13660-015-0947-2., Makale
• Liu, Jian. (2019). New Refinements of the Erdös–Mordell Inequality and Barrow’s Inequality, https://doi.org/10.3390/math7080726, Makale