Bretschneider formülü

Geometride, Bretschneider formülü, genel bir dörtgen verildiğinde, dörtgenin kenarları ve karşı açıları ile dörtgenin alanı arasındaki ilişkiyi gösteren bir ifadedir.

Bir dörtgen.

Açıklama

Bretschneider formülü, genel bir dörtgen alanı için aşağıdaki şekilde ifade edilir:

${\displaystyle K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cdot \cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)}}}$

${\displaystyle ={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-{\tfrac {1}{2}}abcd[1+\cos(\alpha +\gamma )]}}.}$

Burada a, b, c, d dörtgenin kenarlarıdır, s yarı çevre ve α ve γ iki zıt açıdır.

Bretschneider formülü, bir çemberin içinde olsun (kirişler dörtgeni) ya da olmasın, herhangi bir dörtgen için geçerlidir.

Alman matematikçi Carl Anton Bretschneider formülü 1842'de keşfetti. Formül aynı yıl Alman matematikçi Karl Georg Christian von Staudt tarafından da elde edildi.

İspat

Dörtgenin alanını K ile belirtilsin. O zaman aşağıdaki ifade yazılabilir:

${\displaystyle {\begin{aligned}K&={\text{area of }}\triangle ADB+{\text{area of }}\triangle BDC\\&={\frac {ad\sin \alpha }{2}}+{\frac {bc\sin \gamma }{2}}.\end{aligned}}}$

Bu nedenle

${\displaystyle 2K=(ad)\sin \alpha +(bc)\sin \gamma .}$

${\displaystyle 4K^{2}=(ad)^{2}\sin ^{2}\alpha +(bc)^{2}\sin ^{2}\gamma +2abcd\sin \alpha \sin \gamma .}$

Kosinüs yasası şunu ifade eder:

${\displaystyle a^{2}+d^{2}-2ad\cos \alpha =b^{2}+c^{2}-2bc\cos \gamma ,}$

çünkü her iki kenar da BD köşegeninin uzunluğunun karesine eşittir. Bu aşağıdaki şekilde yeniden yazılabilir:

${\displaystyle {\frac {(a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2})^{2}}{4}}=(ad)^{2}\cos ^{2}\alpha +(bc)^{2}\cos ^{2}\gamma -2abcd\cos \alpha \cos \gamma .}$

Bunu yukardaki 4K² formülüne eklersek aşağıdaki ifadeyi elde ederiz:

${\displaystyle {\begin{aligned}4K^{2}+{\frac {(a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2})^{2}}{4}}&=(ad)^{2}+(bc)^{2}-2abcd\cos(\alpha +\gamma )\\&=(ad+bc)^{2}-2abcd-2abcd\cos(\alpha +\gamma )\\&=(ad+bc)^{2}-2abcd(\cos(\alpha +\gamma )+1)\\&=(ad+bc)^{2}-4abcd\left({\frac {\cos(\alpha +\gamma )+1}{2}}\right)\\&=(ad+bc)^{2}-4abcd\cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right).\end{aligned}}}$

Not: ${\displaystyle \cos ^{2}{\frac {\alpha +\gamma }{2}}={\frac {1+\cos(\alpha +\gamma )}{2}}}$ (tüm ${\displaystyle {\frac {\alpha +\gamma }{2}}}$ değerleri için geçerli bir trigonometrik özdeşliktir.)

Brahmagupta formülündeki adımları takip ederek bu ifade aşağıdaki şekilde yazılabilir:

${\displaystyle 16K^{2}=(a+b+c-d)(a+b-c+d)(a-b+c+d)(-a+b+c+d)-16abcd\cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right).}$

Yarı çevrenin değeri,

${\displaystyle s={\frac {a+b+c+d}{2}},}$

olarak alınırsa yukarıdaki ifade aşağıdaki gibi olur:

${\displaystyle 16K^{2}=16(s-d)(s-c)(s-b)(s-a)-16abcd\cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)}$

${\displaystyle K^{2}=(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)}$

ve Bretschneider formülü, her iki tarafın karekökünü aldıktan sonra aşağıdaki gibi eld edilir:

${\displaystyle K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cdot \cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)}}}$

İlgili formüller

Bretschneider formülü, kirişler dörtgeninin alanı için Brahmagupta formülünü genelleştirir ve bu da bir üçgenin alanı için Heron formülünü genelleştirir.

Dörtgenlerin kirişler dörtgeni olmaması durumunda Bretschneider formülündeki trigonometrik ayarlama, kenarlar ve köşegenler e ve f cinsinden trigonometrik olmayan bir şekilde yeniden yazılabilir.[1][2]

${\displaystyle {\begin{aligned}K&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {4e^{2}f^{2}-(b^{2}+d^{2}-a^{2}-c^{2})^{2}}}\\&={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-{\tfrac {1}{4}}(ac+bd+ef)(ac+bd-ef)}}.\end{aligned}}}$

Notlar

1. J. L. Coolidge, "A historically interesting formula for the area of a quadrilateral", American Mathematical Monthly, 46 (1939) 345–347. (JSTOR)
2. E. W. Hobson: A Treatise on Plane Trigonometry. Cambridge University Press, 1918, pp. 204-205

Kaynakça ve ilave okumalar

• Ayoub B. Ayoub: Ptolemy ve Brahmagupta Teoremlerinin Genelleştirmeleri. Matematik ve Bilgisayar Eğitimi, Cilt 41, Sayı 1, 2007, 
• EW Hobson : Düzlem Trigonometrisi Üzerine Bir İnceleme. Cambridge University Press, 1918, ss. 204–205 (çevrimiçi kopya)
• CA Bretschneider. Untersuchung der trigonometrischen Relationen des geradlinigen Viereckes. Archiv der Mathematik und Physik, Band 2, 1842, s. 225-261 (çevrimiçi kopya, Almanca)
• F. Strehlke: Zwei neue Sätze vom ebenen und sphärischen Viereck und Umkehrung des Ptolemaischen Lehrsatzes. Archiv der Mathematik und Physik, Band 2, 1842, ss. 323-326 (çevrimiçi kopya, Almanca)
• Bajgonakova, G.A. & Mednykh, Alexander. (2012). On Bretschneider’s formula for a hyperbolic quadrilateral. Matematicheskie Zametki YAGU. 1.
• Garza-Hume, Clara E., Maria C. Jorge, & Arturo Olvera. "Quadrilaterals and Bretschneider's Formula." The Mathematics Teacher 111.4 (2018): 310-314. JSTOR, www.jstor.org/stable/10.5951/mathteacher.111.4.0310.
• Park, K. S. (2006). A Study on the Design of Teaching Units for Teaching and Learning of Secondary Preservice Teachers' Mathematising: Reinvention of Bretschneider's Formula. School Mathematics, 8(3), 327-339.

Dış bağlantılar

• Eric W. Weisstein, Bretschneider's formula (MathWorld)
• Bretschneider's formula at proofwiki.org
• Bretschneider's formula at artofproblemsolving