Conway dizisi ok gösterimi

Conway dizisi ok gösterimi, çok büyük sayıları ifade etmek için matematikçi John Horton Conway tarafından oluşturuldu. Pozitif tam sayılar serisini basitçe sağa doğru oklarla ayırarak gösterir. Örneğin, 2→3→4→5→6.

Çok kombinatorik sembolojiler ile tanımı özyinelemedir. Bundan dolayıdır ki gösterim, sayının bazı tam sayı kuvvetini yükselterek çözmektir.

Tanım ve önizleme

Conway dizisi (veya kısa dizi) şöyle tanımlanır:

• Her pozitif tam sayı uzunluğu 1 olan dizidir.
• n uzunluğundaki bir dizi, sağ oktan sonra pozitif tam sayı gelir ve bu dizi formunun uzunluğu ${\displaystyle n+1}$ olur.

Her dizi bir tam sayı ifade eder ve şu dört kuralı içerir. Eğer aynı tam sayıyı ifade ediyorlarsa iki dizi eşdeğerdir.

Eğer p ve q pozitif tam sayı ve X bir alt dizi ise:

1. ${\displaystyle p}$ dizisi p sayısını ifade eder.
2. ${\displaystyle p\to q}$'nun üslü ifadesi ${\displaystyle p^{q}}$'dir.
3. ${\displaystyle X\to p\to 1}$, ${\displaystyle X\to p}$'ye eşdeğerdir.
4. ${\displaystyle X\to p\to (q+1)}$, ${\displaystyle X\to (X\to (\dots (X\to (X)\to q)\dots )\to q)\to q}$'ye eşdeğerdir
   (q > 0 için, p tane X, p - 1 tane q ve p - 1 tane çift parantez uygulanır).

Son ifade üç nokta, kısaltma yapmak için kullanıldı:

4a. ${\displaystyle X\to 1\to (q+1)=X}$

4b. ${\displaystyle X\to (p+1)\to (q+1)=X\to (X\to p\to (q+1))\to q}$

Özellikler

1. Uzunluğu 3 olan bir dizi Knuth yukarı ok gösterimini ve hiperişlemleri ifade eder:
   ${\displaystyle {\begin{matrix}p\to q\to r={\mbox{hiper}}(p,r+2,q)=p\!\!\!&\underbrace {\uparrow \dots \uparrow } &\!\!\!q=p\uparrow ^{r}q.\\&\!\!\!r{\mbox{ tane ok}}\!\!\!\end{matrix}}}$
2. X→p formunun X→Y dizisinden dolayı:
3. a ile başlayan bir dizi, a nın bir kuvvetidir
4. 1→Y dizisi 1'e eşittir
5. X→1→Y dizisi X'e eşittir
6. 2→2→Y dizisi 4'e eşittir
7. X→2→2 dizisi X→(X)'e eşittir (X dizisinın değeri ona bağlandı)

Açıklama

Bir ok dizisini bir bütün olarak işlemekte dikkatli olunmalıdır. Ok dizileri, ikili işleçlerin (operatörlerin) tekrarlı uygulamasını açıklamaz. İçteki diğer sembol dizileri (örn, 3+4+5+6+7), çoğunlukla parçalarla (örn, (3+4)+5+(6+7)) ele alınır ve anlamda bir değişiklik olmaz (birleşmeye bakınız) veya en azından öngörülen sıraya göre adım adım işlem yapılabilir. Örn, ${\displaystyle 2^{3^{4}}}$ sağdan sola doğru. Örneğin:

• ${\displaystyle 2\rightarrow 3\rightarrow 2=2\uparrow \uparrow 3=2^{2^{2}}=16}$
• ${\displaystyle 2\rightarrow \left(3\rightarrow 2\right)=2^{(3^{2})}=2^{3^{2}}=512}$
• ${\displaystyle \left(2\rightarrow 3\right)\rightarrow 2=\left(2^{3}\right)^{2}=64}$

Dördüncü kural temeldir. 2 veya daha büyük sayı ile biten 3 veya daha fazla elemanlı dizi, aynı uzunlukta, sondan bir önceki elemanı (genellikle büyük oranda) artan bir dizi olur. Fakat onun son elemanı küçültülür.

Örnekler

Örnekler oldukça karışıktır. Burada birkaçına yer vereceğiz:

n

= n (1.kurala göre)

p→q

= p^q (2.kurala göre)

Burada 3→4 = 3⁴ = 81

1→(her oklu ifade)

= 1 tam ifade sonuçta 1^sayı = 1 olarak azaldığında.

4→3→2

= 4→(4→(4)→1)→1 (4.kurala göre) ve sonra iç parantezlerden dışa doğru,

= 4→(4→4→1)→1 (gereksiz parantezler kaldırıldı)

= 4→(4→4)→1 (3'e göre)

= 4→(256)→1 (2'ye göre)

= 4→256→1

= 4→256 (3'e göre)

= 4²⁵⁶ (2'ye göre)

= 13 407 807 929 942 597 099 574 024 998 205 846 127 479 365 820 592 393 377 723 561 443 721 764 030 073 546 976 801 874 298 166 903 427 690 031 858 186 486 050 853 753 882 811 946 569 946 433 649 006 084 096 exactly ≈ 1.34078079299 × 10¹⁵⁴

Knuth oklarıyla: ${\displaystyle 4\uparrow \uparrow 3=4\uparrow 4\uparrow 4=4^{256}}$

2→2→4

= 2→(2)→3 (4'e göre)

= 2→2→3

= 2→2→2 (4'e göre)

= 2→2→1 (4'e göre)

= 2→2 (3'e göre)

= 4 (2) (4 için her dizi 2 tane 2 ile başlar)

2→4→3

= 2→(2→(2→(2)→2)→2)→2 (4.'e göre) Dört tane X (ki buradakisi 2 dir), üç tane q (buradakisi yine 2'dir) ile karışmasını engellemek için koyu yazıldı

= 2→(2→(2→2→2)→2)→2

= 2→(2→(4)→2)→2 (önceki örnekteki gibi)

= 2→(2→4→2)→2

= 2→(2→(2→(2→(2)→1)→1)→1)→2 (4.kurala göre)

= 2→(2→(2→(2→2→1)→1)→1)→2

= 2→(2→(2→(2→2)))→2 (yine 3'e göre)

= 2→(2→(2→(4)))→2 (2'ye göre)

= 2→(2→(16))→2 (2'ye göre)

= 2→65536→2

= 2→(2→(2→(...2→(2→(2)→1)→1...)→1)→1)→1 (4'e göre) 65535 parantezli

= 2→(2→(2→(...2→(2→(2))...)))) (yine 3'e göre)

= 2→(2→(2→(...2→(4))...)))) (2'ye göre)

= 2→(2→(2→(...16...)))) (2'ye göre)

= ${\displaystyle 2^{2^{\dots ^{2}}}}$ (2¹⁶ kule = 65536 kat) = ⁶⁵⁵³⁶2 (Tetrasyona bakınız)

Knuth okları ile: ${\displaystyle 2\uparrow \uparrow \uparrow 4=2\uparrow \uparrow 2\uparrow \uparrow 2\uparrow \uparrow 2=2\uparrow \uparrow 2\uparrow \uparrow 2\uparrow 2=2\uparrow \uparrow 2\uparrow \uparrow 4=2\uparrow \uparrow 2\uparrow 2\uparrow 2\uparrow 2=2\uparrow \uparrow 65536.}$

2→3→2→2

= 2→3→(2→3)→1 (4'e göre)

= 2→3→8 (2 ve 3) Knuth okları ile: 2 ↑⁸ 3 (özellik1)

= 2→(2→2→7)→7 (1)

= 2→4→7 (iki tane başlangıç 2'si 4 eder [özellik6]) Knuth okları ile: 2 ↑⁷ 4 (özellik1)

= 2→(2→(2→2→6)→6)→6 (4)

= 2→(2→4→6)→6 (özellik6)

= 2→(2→(2→(2→2→5)→5)→5)→6 (4)

= 2→(2→(2→4→5)→5)→6 (özellik6)

= 2→(2→(2→(2→(2→2→4)→4)→4)→5)→6 (4)

= 2→(2→(2→(2→4→4)→4)→5)→6 (özellik6)

= 2→(2→(2→(2→(2→(2→2→3)→3)→3)→4) →5)→6 (4)

= 2→(2→(2→(2→(2→4→3)→3)→4)→5)→6 (özellik6)

= 2→(2→(2→(2→(2→65536→2)→3)→4)→5)→6 (önceki örnekten)

= önceki sayıdan çok büyüktür

Knuth okları ile: ${\displaystyle 2\uparrow ^{6}2\uparrow ^{5}2\uparrow ^{4}2\uparrow ^{3}2\uparrow ^{2}65536.}$

3→2→2→2

= 3→2→(3→2)→1 (4)

= 3→2→9 (2 ve 3)

= 3→3→8 (4)

Knuth okları ile: ${\displaystyle 3\uparrow ^{8}3}$.

Sistematik örnekler

Dört terimlilerin en basit durumları (2'den küçük tam sayı içermez):

• ${\displaystyle a\to b\to 2\to 2=a\to b\to 2\to (1+1)=a\to b\to (a\to b)\to 1=a\to b\to a^{b}=a\uparrow ^{a^{b}}b}$

(ayrıca bahsedilen son özellikten)

• ${\displaystyle a\to b\to 3\to 2=a\to b\to 3\to (1+1)}$
  ${\displaystyle =a\to b\to (a\to b\to (a\to b)\to 1)\to 1=a\to b\to (a\to b\to a^{b})=a\uparrow ^{a\to b\to 2\to 2}b}$
• ${\displaystyle a\to b\to 4\to 2=a\to b\to (a\to b\to (a\to b\to a^{b}))=a\uparrow ^{a\to b\to 3\to 2}b}$

m>2 için burada bir kalıp görebiliriz. Eğer herhangi bir X dizisi için ${\displaystyle f(p)=X\to p}$ ise, buradan ${\displaystyle X\to p\to 2=f^{p}(1)}$ elde ederiz (fonksiyonel kuvvetlere bakınız]]).

Bunu ${\displaystyle X=a\to b}$'ye uygularsak ${\displaystyle f(p)=a\uparrow ^{p}b}$ ve ${\displaystyle a\to b\to p\to 2=a\uparrow ^{a\to b\to (p-1)\to 2}b=f^{p}(1)}$ olur.

Buradan örneğin, ${\displaystyle 10\to 10\to 3\to 2=10\uparrow ^{10\uparrow ^{10^{10}}10}10\!}$ elde edilir.

Devam edersek:

• ${\displaystyle a\to b\to 2\to 3=a\to b\to 2\to (2+1)=a\to b\to (a\to b)\to 2=a\to b\to a^{b}\to 2=f^{a^{b}}(1)}$

Tekrar genelleştirme yapabiliriz. ${\displaystyle g_{q}(p)=X\to p\to q}$ yazarsak ${\displaystyle X\to p\to q+1=g_{q}^{p}(1)}$ elde ederiz. Buradan ${\displaystyle g_{q+1}(p)=g_{q}^{p}(1)}$ olur. Yukarıdaki durumda, ${\displaystyle g_{2}(p)=a\to b\to p\to 2=f^{p}(1)}$ ve ${\displaystyle g_{3}(p)=g_{2}^{p}(1)}$ olur. Buradan da ${\displaystyle a\to b\to 2\to 3=g_{3}(2)=g_{2}^{2}(1)=g_{2}(g_{2}(1))=f^{f(1)}(1)=f^{a^{b}}(1)}$ elde edilir.

Ackermann işlevi

Ackermann işlevi, Conway dizisi ok gösterimi kullanılarak şöyle ifade edilebilir:

m>2 için, A(m, n) = (2 → (n+3) → (m − 2)) − 3

olduğundan dolayı,

n>2 için, 2 → n → m = A(m+2,n-3) + 3 olur.

(n=1 ve n=2, sırasıyla A(m,-2)=-1 ve A(m,-1)=1'i karşılayabilir. Bu mantıksal olarak eklenebilir).

Graham sayısı

Graham sayısı ${\displaystyle G\!}$, kendini Conyaw dizisi ok gösteriminde özlü olarak ifade edemez. Fakat ${\displaystyle f(n)=3\rightarrow 3\rightarrow n\!}$ ortanca fonksiyonunu tanımlayarak; ${\displaystyle G=f^{64}(4)\,}$ (fonksiyonel kuvvete bakınız) ve ${\displaystyle 3\rightarrow 3\rightarrow 64\rightarrow 2<G<3\rightarrow 3\rightarrow 65\rightarrow 2\,}$'yi elde ederiz.

İspat: Sırasıyla kural 3 ve kural 4'teki açıklamaları uygularsak şunları elde ederiz:

${\displaystyle f^{64}(1)\,}$

${\displaystyle =3\rightarrow 3\rightarrow (3\rightarrow 3\rightarrow (\dots (3\rightarrow 3\rightarrow (3\rightarrow 3\rightarrow 1))\dots ))\,}$ (64 tane ${\displaystyle 3\rightarrow 3}$)

${\displaystyle =3\rightarrow 3\rightarrow (3\rightarrow 3\rightarrow (\dots (3\rightarrow 3\rightarrow (3\rightarrow 3)\rightarrow 1)\dots )\rightarrow 1)\rightarrow 1\,}$

${\displaystyle =3\rightarrow 3\rightarrow 64\rightarrow 2;\,}$

${\displaystyle f^{64}(4)=G;\,}$

${\displaystyle =3\rightarrow 3\rightarrow (3\rightarrow 3\rightarrow (\dots (3\rightarrow 3\rightarrow (3\rightarrow 3\rightarrow 4))\dots ))\,}$ (64 tane ${\displaystyle 3\rightarrow 3}$)

${\displaystyle f^{64}(27)\,}$

${\displaystyle =3\rightarrow 3\rightarrow (3\rightarrow 3\rightarrow (\dots (3\rightarrow 3\rightarrow (3\rightarrow 3\rightarrow 27))\dots ))\,}$ (64 tane ${\displaystyle 3\rightarrow 3}$)

${\displaystyle =3\rightarrow 3\rightarrow (3\rightarrow 3\rightarrow (\dots (3\rightarrow 3\rightarrow (3\rightarrow 3\rightarrow (3\rightarrow 3)))\dots ))\,}$ (65 tane ${\displaystyle 3\rightarrow 3}$)

${\displaystyle =3\rightarrow 3\rightarrow 65\rightarrow 2\,}$ (yukarıdaki gibi hesaplanır).

f hızlı olarak artarken,

${\displaystyle f^{64}(1)<f^{64}(4)<f^{64}(27)\,}$'de sapma meydana gelir.

Çok büyük sayıyı dizi okları ile ifade etmek oldukça kolaydır. Örneğin,

${\displaystyle 3\rightarrow 3\rightarrow 3\rightarrow 3~~=~~3\rightarrow 3\rightarrow (3\rightarrow 3\rightarrow 27\rightarrow 2)\rightarrow 2\,}$

sayısı Graham sayısından çok büyüktür.

Ayrıca bakınız

• Steinhaus-Moser gösterimi
• Ackermann işlevi
• Sistematik olarak daha hızlı artış sırası oluşturma

Dış bağlantılar

• Factoids > büyük sayılar
• Robert Munafo Büyük Sayıları16 Mayıs 2017 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.