Dağılma özelliği

Soyut cebir ve mantıkta, ikili işlemlerin dağılma özelliği, temel cebirdeki dağılma kuralının genelleştirilmesidir.

Örneğin aritmetikte:

2 · (1 + 3) = (2 · 1) + (2 · 3), fakat 2 / (1 + 3) ≠ (2 / 1) + (2 / 3).

Birinci denklemin sol tarafındaki 2, 1 ve 3'ün toplamı ile çarpılır. Sağ tarafta, 1 ve 3, 2 ile ayrı ayrı çarpılır ve ardından bu çarpımlar toplanır. Eşitliğin her iki tarafının da sonucu (8)'dir. Bu çarpmaya, "çarpmanın toplama üzerine dağılma özelliği" denir. Yukarıdaki 2, 1 ve 3 yerine herhangi reel sayılar konulursa, yine eşitlik sağlanır. Buna da, "reel sayılarda çarpmanın toplama üzerine dağılma özelliği" denir.

Tanım

Bir A kümesi ve bu kümede tanımlı ${\displaystyle \scriptstyle *}$ ile ${\displaystyle \scriptstyle +}$ ikili işlemleri verilsin. ${\displaystyle \scriptstyle *}$ işlemini şöyle ifade edebiliriz:

• Eğer x, y ve z, S kümesinin ögeleri (elemanları) ise, ${\displaystyle \scriptstyle +}$ üzerine sol dağılım şöyle sembolize edilir:

${\displaystyle x*(y+z)=(x*y)+(x*z)}$

• Eğer x, y ve z, S kümesinin ögeleri ise, ${\displaystyle \scriptstyle +}$ üzerine sağ dağılım şöyle sembolize edilir::

${\displaystyle (y+z)*x=(y*x)+(z*x)}$

• Eğer sol ve sağ dağılım ise, ${\displaystyle \scriptstyle +}$ üzerine dağılım denir.

${\displaystyle \scriptstyle *}$ işleminde değişme özelliği varsa, yukarıdaki üç şartın mantıksal eşdeğer olduğuna dikkat edin.

Örnekle

1. Sayıların çarpımı, sayıların toplama üzerine dağılmasıdır. Bu, doğal sayılardan karmaşık sayılara ve hatta nicel sayılara kadar geçerlidir.
2. Sıral sayılarda çarpmada yalnızca sol dağılma vardır.
3. Çapraz çarpımın vektör toplamı üzerine sol ve sağ dağılma özelliği vardır. Fakat birleşme yoktur.
4. Matris çarpımın matris toplamı üzerine dağılma özelliği vardır. Fakat birleşme yoktur.
5. Birleşmenin kesişme üzerine dağılma özelliği vardır. Kesişmenin de birleşme üzerine dağılması vardır.