Vektör

Vektör veya yöney, sayısal büyüklüğü ve birimi yanında, skaler niceliklerden farklı olarak yönü de olan niceliktir. Hız, kuvvet, ivme ve ağırlık örnek birer vektörel niceliktir. Vektörler bir sayı (skaler) ile veya başka bir vektör ile çarpılabilir ve bölünebilir. Aynı zamanda yönü değiştirilmemek şartı ile ötelenebilirler. Vektörlerin yönlü doğru parçalarından farkı budur. Yönlü doğru parçalarının koordinat sistemindeki yeri sabitken, vektörler ötelenebilirler.

Köken

İngilizcede bu yapı için kullanılan sözcük vector dür. Kökeni, "taşımak"/"bir yöne aktarmak"/"göndermek" anlamına gelen "vehere" Latince fiil gövdesidir[1]. Sözcüğün anlamı "taşıyıcı"/"yöncü" olarak düşünülebilir. Bu yüzden olabilir ki Türkçede (büyük ihtimalle Fransızcadan devşirilmiş olan) vektör karşılığından sonra yöney karşılığı kullanılmaktadır[2].

Gösterimi

Vector arrow pointing from A to B

Fiziksel vektörler veya geometrik vektörler, başlangıç noktası A, bitim noktası B olan [AB] doğru parçasına yönlü doğru parçası denir. Bu vektör;

${\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {A} \mathrm {B} }}}$

ile gösterilir.

Ok vektörün yönünü gösterir. Doğru parçasının uzunluğu ise, vektör büyüklüğü ile doğru orantılıdır.

İki boyutlu bir koordinat düzleminde; bazen bir vektör koordinat düzlemine dik olarak gösterilmesi gerekebilir. Bir dairenin merkezinde bir nokta bulunursa (Unicode U+2299 ⊙), bu sembol yönü gözlemciye doğru olan bir vektörü göstermektedir. Bir dairenin içinde bir çarpı işareti bulunursa (Unicode U+2297 ⊗), bu sembol yönü düzlemin arkasına doğru olan bir vektörü göstermektedir. Bu semboller, bir savaş okunun ucunun görüntülenmesi ve bir savaş okunun arka kanatlarının görüntülenmesi gibi düşünülebilir.

Soyut tanımı

Soyut olarak vektörler, bir F cisminin üzerine tanımlı bir vektör uzayının öğeleridir. Vektörler bu cisim üzerine tanımlanmış bir denklik bağıntısı yardımıyla tanımlanabilir. ${\displaystyle a,b,c,d\in F^{n}=F\times F\times \cdots \times F}$ (n tane) olsun. a öğesi ile b öğesi,ancak bileşenlerin toplamı olarak a+d=b+c ise bağıntılıdır. Daha biçimsel olmak gerekirse

${\displaystyle a\sim b\Leftrightarrow \forall i\in \{1,2,\cdots ,n\}:\quad a_{i}+d_{i}=b_{i}+c_{i}}$

şeklinde tanımlanır ki burada ${\displaystyle a_{i}\in F}$'ler a noktasının koordinatlarıdır ve +işlemi F cismine aittir.

Bu bağıntının bir denklik bağıntısı olduğu kolaylıkla görülebilir. O halde vektör, denklik sınıflarıdır. Böylece denklik sınıfı temsilcisini koyu harfle gösterirsek, bir vektör

${\displaystyle \mathbf {a} =\{a|a\sim b\}}$

olarak tanımlanmış olur. Daha açık bir biçimde bir vektör,

${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1}-b_{1},a_{2}-b_{2},\cdots ,a_{n}-b_{n})=(c_{1}-d_{1},c_{2}-d_{2},\cdots ,c_{n}-d_{n})}$

şeklinde düşünülebilir.

Gösterimi

Bir vektör çok çeşitli şekillerde gösterimlenebilir. En yaygın gösterimler, üzerinde bir ok işareti (${\displaystyle {\vec {a}}}$) ya da koyu harf (${\displaystyle \mathbf {a} }$) gösterimidir. Oklu gösterimin avantajı el yazılarında kolaylıkla kullanılabilir olmasıdır. Ancak baskı ve sayısal metinlerde koyu harf kullanmak adettir.

Vektörün bileşenleriyle gösteriminde ise genellikle sıralı n-li kullanılır.

${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n})}$

Yer yer (konunun veriliş tarzına bağlı olarak) satır ya da sütun dizey gösterimi de yeğlenir.

${\displaystyle \mathbf {a} ={\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&\cdots &a_{n}\end{bmatrix}}}$ ya da${\displaystyle \mathbf {a} ={\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\\cdots \\a_{n}\end{bmatrix}}}$

Yine yaygın gösterimlerden biri birim vektör gösterimidir.

${\displaystyle \mathbf {a} =a_{1}\mathbf {i} _{1}+a_{2}\mathbf {i} _{2}+\cdots +a_{n}\mathbf {i} _{n}}$

ki burada

${\displaystyle \mathbf {i} _{1}=(1,0,\cdots ,0)}$

${\displaystyle \mathbf {i} _{2}=(0,1,0,\cdots ,0)}$

${\displaystyle \vdots }$

${\displaystyle \mathbf {i} _{n}=(0,\cdots ,0,1)}$

alınabilir.

Bir vektör

${\displaystyle \mathbf {a} =\sum _{j=1}^{n}a_{j}\mathbf {i} _{j}}$

şeklinde düşünüldüğünde Einstein toplam uzlaşımı kullanılarak

${\displaystyle a=a_{j}\mathbf {i} _{j}\quad \quad \quad (j=1,2,\cdots ,n)}$

şeklinde gösterilebilir. Bu gösterim, toplam simgesinden kurtulmada ve bileşenleri temsil edecek şekilde bir kolaylık sağlamaktadır. Genellikle tensör gösterimi olarak anılır.

Eşitlik

Ancak vektörlerden birinin her bileşeni karşılıklı olarak diğerininkine eşitse bu iki vektör eşittir.

${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {b} }$

Vektör toplamı

İki vektörün toplamı üçüncü bir vektöre eşittir. 1.şekil parelelkenar metodu,2.si ise uç uca ekleme metodudur.

${\displaystyle \mathbf {a} +\mathbf {b} }$	${\displaystyle =(a_{1}\mathbf {i} _{1}+a_{2}\mathbf {i} _{2}+\cdots +a_{n}\mathbf {i} _{n})+(b_{1}\mathbf {i} _{1}+b_{2}\mathbf {i} _{2}+\cdots +b_{n}\mathbf {i} _{n})}$
	${\displaystyle =(a_{1}+b_{1})\mathbf {i} _{1}+(a_{2}+b_{2})\mathbf {i} _{2}+\cdots +(a_{n}+b_{n})\mathbf {i} _{n}}$
	${\displaystyle ={\begin{bmatrix}a_{1}+b_{n}\\a_{2}+b_{n}\\\cdots \\a_{3}+b_{n}\end{bmatrix}}}$

Skaler (sayıl) ile çarpma

Bir vektör uzayında, skaler ve vektörler arasında bir çarpma ve dağılma olması gerekir. r,s sayılları F cismine ait olsun. O halde ${\displaystyle \mathbf {a} }$, ${\displaystyle \mathbf {b} }$vektörleri için,

• Sayıl ile birleşme: ${\displaystyle r(s\mathbf {a} )=(rs)\mathbf {a} }$
• Sayıl toplaması üzerine dağılma: ${\displaystyle (r+s)\mathbf {a} =r\mathbf {a} +s\mathbf {a} }$
• Vektör toplamı üzerine dağılma: ${\displaystyle r(\mathbf {a} +\mathbf {b} )=r\mathbf {a} +r\mathbf {b} }$
• Sayıl birim öğe ile çarpma: ${\displaystyle 1\mathbf {a} =\mathbf {a} }$

özellikleri sağlanır.

Genel olarak vektörle skalerle çarpması, vektörün her bileşeninin skaler ile çarpılmasıdır.

${\displaystyle r\mathbf {a} ={\begin{bmatrix}ra_{1}&ra_{2}&\cdots &ra_{n}\end{bmatrix}}}$

Doğrudan çarpım (tensör çarpımı)

İki vektörün doğrudan çarpımının sonucu ne bir vektördür ne bir skalerdir, bir ikiçtir (dyad).

${\displaystyle \mathbf {a} \mathbf {b} ={\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}&&b_{2}&&b_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}b_{1}&&a_{1}b_{2}&&a_{1}b_{3}\\a_{2}b_{1}&&a_{2}b_{2}&&a_{2}b_{3}\\a_{3}b_{1}&&a_{3}b_{2}&&a_{3}b_{3}\end{bmatrix}}}$

Bu çarpıma, eğer vektörler eş boyutluysa, çiftli (dyadic) çarpım denir. Eğer vektöreri birim vektörlerle ifade edersek

${\displaystyle \mathbf {a} =a_{1}\mathbf {i} _{1}+a_{2}\mathbf {i} _{2}+a_{3}\mathbf {i} _{3}}$

${\displaystyle \mathbf {b} =b_{1}\mathbf {i} _{1}+b_{2}\mathbf {i} _{2}+b_{3}\mathbf {i} _{3}}$

şeklinde tanımlanan iki vektör için doğrudan çarpım

${\displaystyle \mathbf {a} \mathbf {b} \,}$	=	${\displaystyle (a_{1}\mathbf {i} _{1}+a_{2}\mathbf {i} _{2}+a_{3}\mathbf {i} _{3})(b_{1}\mathbf {i} _{1}+b_{2}\mathbf {i} _{2}+b_{3}\mathbf {i} _{3})}$
	=	${\displaystyle a_{1}b_{1}\mathbf {i} _{1}\mathbf {i} _{1}+a_{1}b_{2}\mathbf {i} _{1}\mathbf {i} _{2}+a_{1}b_{3}\mathbf {i} _{1}\mathbf {i} _{3}}$
	+	${\displaystyle a_{2}b_{1}\mathbf {i} _{2}\mathbf {i} _{1}+a_{2}b_{2}\mathbf {i} _{2}\mathbf {i} _{2}+a_{2}b_{3}\mathbf {i} _{2}\mathbf {i} _{3}}$
	+	${\displaystyle a_{3}b_{1}\mathbf {i} _{3}\mathbf {i} _{1}+a_{3}b_{2}\mathbf {i} _{3}\mathbf {i} _{2}+a_{3}b_{3}\mathbf {i} _{3}\mathbf {i} _{3}}$

olarak elde edilir. Buradaki ${\displaystyle \mathbf {i} _{1}\mathbf {i} _{2}}$ gibi birimler yeni birer birimdir, yâni başka bir ${\displaystyle \mathbf {i} }$ cinsinden ifade edilemez. Bu yüzden${\displaystyle \mathbf {i} _{ij}=\mathbf {i} _{i}\mathbf {i} _{j}}$ olarak tanımlandığında

${\displaystyle \quad }$	=	${\displaystyle a_{1}b_{1}\mathbf {i} _{11}+a_{1}b_{2}\mathbf {i} _{12}+a_{1}b_{3}\mathbf {i} _{13}}$
	+	${\displaystyle a_{2}b_{1}\mathbf {i} _{21}+a_{2}b_{2}\mathbf {i} _{22}+a_{2}b_{3}\mathbf {i} _{23}}$
	+	${\displaystyle a_{3}b_{1}\mathbf {i} _{31}+a_{3}b_{2}\mathbf {i} _{32}+a_{3}b_{3}\mathbf {i} _{33}}$

elde edilir ki bu da dizey gösterimine tekâbül eder.

Konum (yer) vektörü

Kartezyen koordinat düzleminde bir konum(yer) vektörü. Vektörün koordinatları: A vektörü = (2,3)

Başlangıç noktası orijin olan vektörlere konum(yer) vektörü denir. Eğer vektör orjinde değilse vektörün uzunluğu ve yönünü değiştirmemek kaydıyla orjine taşıyabiliriz.

Başlangıç noktası O = (0,0), bitiş noktası A = (2,3) olan iki boyutlu bir vektör düşünelim. Bu vektör basit olarak aşağıdaki şekilde gösterilebilir:

${\displaystyle {\overrightarrow {A}}=(2,3)}$

Üç boyutlu kartezyen koordinat sisteminde (veya ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$) vektörler, üç skaler sayı ile tanımlanır:

${\displaystyle {\overrightarrow {G}}=(a,b,c)}$

Standart temel vektörler

"i","j","k" temel birim vektörleri.

Birim vektör, uzunluğu 1 birim olan vektörlere denir. Üç boyutlu kartezyen koordinat sisteminde x,y ve z eksenleri üzerinde yer alan üç tane temel birim vektör vardır. Bunlar:

${\displaystyle i={\mathbf {e} }_{1}=(1,0,0)}$

${\displaystyle j={\mathbf {e} }_{2}=(0,1,0)}$

${\displaystyle k={\mathbf {e} }_{3}=(0,0,1)}$

ise:

${\displaystyle {\overrightarrow {G}}=(a,b,c)=a{\mathbf {i} }+b{\mathbf {j} }+c{\mathbf {k} }}$

Bir vektörün normu

A vektörünün uzunluğu (normu ya da boyu), ||A|| sembolü ile gösterilir.

"i", "j" ve "k" temel birim vektörleri cinsinden yazılan bir vektörün uzunluk formülü, Pisagor teoreminin bir sonucudur. O halde:

${\displaystyle {\overrightarrow {G}}=(a,b,c)=a{\mathbf {i} }+b{\mathbf {j} }+c{\mathbf {k} }}$

Yukarıdaki vektörü ele alırsak:

${\displaystyle \left\|{\overrightarrow {G}}\right\|={\sqrt {{a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}}}}$

İki vektörün birbiriyle çarpımı

${\displaystyle {\overrightarrow {G}}=(a,b,c)}$

${\displaystyle {\overrightarrow {H}}=(d,e,f)}$

Bu iki vektörü ele alırsak:

İç (Skaler) çarpım (${\displaystyle {\overrightarrow {G}}\cdot {\overrightarrow {H}}}$)

Nokta çarpım da denilen çarpım yöntemiyle yapılan çarpımdır.

Bileşenleri türünden çarpımı

Örnek:

${\displaystyle {\overrightarrow {G}}=(a,b,c)}$

${\displaystyle {\overrightarrow {H}}=(d,e,f)}$

Bu iki vektörü ele alırsak:

${\displaystyle {\overrightarrow {G}}\cdot {\overrightarrow {H}}={(a,b,c)}\cdot {(d,e,f)}={a}\cdot {d}+{b}\cdot {e}+{c}\cdot {f}}$

Aralarındaki açı türünden çarpımı

${\displaystyle {\overrightarrow {A}}}$ ve ${\displaystyle {\overrightarrow {B}}}$ vektörleri arasındaki "theta" açısı.

Örnek:

${\displaystyle {\overrightarrow {G}}=(a,b,c)}$

${\displaystyle {\overrightarrow {H}}=(d,e,f)}$

Bu iki vektörü ele alırsak:

${\displaystyle {\overrightarrow {G}}\cdot {\overrightarrow {H}}=\left\|{\overrightarrow {G}}\right\|\left\|{\overrightarrow {H}}\right\|\cos \theta }$

${\displaystyle \cos \theta }$ 'nın değerini bulmak için:

${\displaystyle \cos \theta ={\frac {{\overrightarrow {G}}\cdot {\overrightarrow {H}}}{\left\|{\overrightarrow {G}}\right\|\left\|{\overrightarrow {H}}\right\|}}}$

Vektörel çarpım (${\displaystyle {\overrightarrow {G}}\times {\overrightarrow {H}}}$)

Çapraz çarpım da denilen çarpım yöntemiyle yapılan çarpımdır.

Örnek:

${\displaystyle {\overrightarrow {G}}=(a,b,c)=a{\mathbf {i} }+b{\mathbf {j} }+c{\mathbf {k} }}$

${\displaystyle {\overrightarrow {H}}=(d,e,f)=d{\mathbf {i} }+e{\mathbf {j} }+f{\mathbf {k} }}$

Bu iki vektörü ele alırsak:

${\displaystyle {\overrightarrow {G}}\times {\overrightarrow {H}}}$	${\displaystyle ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &&\mathbf {j} &&\mathbf {k} \\a&&b&&c\\d&&e&&f\end{vmatrix}}}$
${\displaystyle \quad }$

Yukarıdaki problem bir determinant problemidir. Sarrus kuralı ile hesaplanır.

Kaynakça

1. "Online Etymology Dictionary". 18 Ağustos 2006 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 25 Ocak 2007.
2. Türk Dil Kurumu, Bilim ve Sanat Terimleri Ana Sözlüğü

Dış bağlantılar