Desargues teoremi

Projektif geometride, Desargues teoremi, adını Girard Desargues'den alır, şunu belirtir:

İki üçgen, ancak ve ancak merkezi olarak perspektif içindeyse eksenel olarak perspektif içindedir.

Perspektif üçgenler. Üçgenlerin karşılık gelen kenarları, uzatıldıklarında, perspektif ekseni adı verilen bir doğru üzerindeki noktalarda buluşur. Üçgenler üzerindeki karşılık gelen köşelerden geçen doğrular, perspektifin merkezi denilen bir noktada buluşur. Desargues teoremi, ikinci koşulun gerçeği için birinci koşulun doğruluğunun gerekli ve yeterli olduğunu belirtir.

Desargues teoremi, Fransız matematikçi Girard Desargues tarafından 1639 yılında geliştirilmiş matematiksel bir ifadedir. 19. yüzyıl başlarında izdüşümsel geometrinin gelişmesini hızlandıran Jean-Victor Poncelet'ye esin kaynağı olmuştur.

Bu teoreme göre üç boyutlu uzayda bulunan iki üçgen (ABC VE A'B'C') birbirlerine göre tek bir noktadan bakıldığında bakan kişinin üçgenleri perspektif görebilecek şekilde konumlandırılırsa (bu demek olur ki AA' BB' ve CC' doğrularının hepsi tek bir noktada kesişirse) üçgenin karşılıklı kenarlarının her biri bir doğru üstünde bulunur (bu koşulun sağlanması için doğruların paralel olması gerekir). Bu kenarlardan bir çiftin paralel olmaması üç kesişim noktası yerine iki kesişim noktası oluşmasına neden olur. Bu durumda teorem tekrar uygulanır. Ancak bu sefer iki nokta, üçgenlerin paralel kenarlarının paralel doğrular üstünde bulunacak şekilde konumlandırılmasıyla uyarlanır. Poncelet bu özel durum nedeniyle teoremi değiştirmek yerine Öklid uzayını değiştirmiştir. Bu değişiklikte sonsuz noktalar olduğunu öne süren Poncelet izdüşümsel geometrinin hızla gelişmesine katkıda bulunmuştur. Bu yeni izdüşümsel uzayda (sonsuz noktaları içinde barındıran Öklid uzayı) bulunan düzgün doğrular, kesişim noktaları sonsuzda olan paralel doğruları gösterir. Poncelet bu yeni keşfiyle Desargues teoreminin izdüşümsel uzayda daha kolay ifade edilebileceğini bulmuştur.

Açıklama

Bir üçgenin üç köşesi a, b ve c ile ve diğer bir üçgenin üç köşesi de A, B ve C ile gösterilsin. Eksenel perspektiflik, ab ve AB doğrularının bir noktada kesiştiği, ac ve AC doğrularının ikinci noktada kesiştiği ve bc ve BC doğrularının üçüncü bir noktada kesiştiği ve bu üç noktanın hepsinin perspektif ekseni adı verilen ortak bir doğru üzerinde yer aldığı anlamına gelir. Merkezi perspektiflik, Aa, Bb ve Cc doğrularının perspektifin merkezi olarak adlandırılan bir noktada kesiştiği anlamına gelir.

Bu kesişme teoremi olağan Öklid düzleminde doğrudur, ancak istisnai durumlarda, örneğin bir çift kenarın paralel olduğu, böylece "kesişme noktalarının" sonsuzluğa uzanması için özel dikkat gösterilmesi gerekir. Genellikle, bu istisnaları ortadan kaldırmak için, matematikçiler Jean-Victor Poncelet'in ardından sonsuza noktalar ekleyerek Öklid düzlemini "tamamladı". Bu, izdüşümsel bir düzlemle sonuçlanır.

Desargues teoremi, gerçek izdüşümsel düzlem için, bir cisim veya bölme halkasından aritmetik olarak tanımlanan herhangi bir izdüşümsel uzay için, ikiye eşit olmayan herhangi bir izdüşümsel boyut uzayı için ve Pappus teoreminin geçerli olduğu herhangi bir izdüşümsel uzay için doğrudur. Bununla birlikte, Desargues teoreminin yanlış olduğu birçok düzlem de vardır.

Tarihçe

Desargues, bu teoremi hiçbir zaman yayınlamadı, ancak 1648'de [1] arkadaşı ve öğrencisi Abraham Bosse (1602–1676)[2] tarafından yayımlanan perspektif kullanımı üzerine Universal Method of M. Desargues for Using Perspective (Manière universelle de M. Desargues pour practiquer la perspective) adlı pratik bir kitapta göründü.

İzdüşümsel ve afin uzaylar

Öklid düzlemi gibi afin bir uzayda benzer bir ifade doğrudur, ancak yalnızca biri paralel doğruları içeren çeşitli istisnaları listeler. Desargues teoremi bu nedenle, doğal evi afin uzaydan ziyade izdüşümsel olan en basit geometrik teoremlerden biridir.

Öz-çifteşlik

Tanım gereği, iki üçgen, ancak ve ancak merkezi olarak perspektif içindeyse (veya bu teoreme göre eşdeğer olarak, eksenel perspektifte ise) perspektiftir. Perspektif üçgenlerinin benzer olması gerekmediğini unutmayın.

Düzlem izdüşümsel geometrinin standart çifteşliği altında (noktaların doğrulara karşılık geldiği ve noktaların doğrusallığının, doğruların kesişmesine karşılık geldiği), Desargues teoreminin ifadesi öz çifteştir: Bu, teoremi yazmanın modern yolundan kaynaklanmaktadır. Tarihsel olarak, teorem yalnızca, "Yansıtmalı bir uzayda, bir çift merkezi perspektif üçgen, eksenel perspektiftir" şeklindedir ve bu ifadenin ikilisi Desargues teoreminin tersi olarak adlandırılır ve her zaman bu adla anılırdı.[3] eksenel perspektif, merkezi perspektife çevrilir ve bunun tersi de geçerlidir. Desargues konfigürasyonu (aşağıda) öz-çifteş bir yapılandırmadır.[4]

Desargues teoreminin kanıtı

Desargues teoremi, herhangi bir cisim veya bölme halkası üzerindeki herhangi bir boyuttaki izdüşümsel uzay için geçerlidir ve ayrıca en az 3 boyutlu soyut izdüşümsel uzaylar için de geçerlidir. 2. boyutta, geçerli olduğu düzlemler, Dezargsel düzlemler olarak adlandırılır ve bir bölme halkası üzerinden koordinatlar verilebilen düzlemlerle aynıdır. Ayrıca Desargues teoreminin geçerli olmadığı birçok Dezargsel olmayan düzlem de vardır.

Üç boyutlu kanıt

Desargues teoremi, en az 3 boyuttaki herhangi bir izdüşümsel uzay için ve daha genel olarak, en azından 3 boyutlu bir uzaya gömülebilen herhangi bir izdüşümsel uzay için doğrudur.

Desargues teoremi şu şekilde ifade edilebilir:

Aa, Bb ve Cc doğruları kesişiyorsa (bir noktada buluşurlar), o zaman AB ∩ ab, AC ∩ ac ve BC ∩ bc noktaları eşdoğrusaldır.

Aa ve Bb'nin kesiştiği varsayımı nedeniyle A, B, a ve b noktaları eş düzlemlidir (aynı düzlemde bulunur). Bu nedenle, AB ve ab doğruları aynı düzleme aittir ve kesişmelidir. Dahası, iki üçgen farklı düzlemlerde yer alıyorsa, AB ∩ ab noktası her iki düzleme de aittir. Simetrik bir argümanla, AC ∩ ac ve BC ∩ bc da mevcuttur ve her iki üçgenin düzlemlerine aittir. Bu iki düzlem birden fazla noktada kesiştiğinden, kesişmeleri üç noktayı da içeren bir doğrudur.

Bu, iki üçgen aynı düzlemde yer almıyorsa Desargues teoremini kanıtlar. Aynı düzlemde iseler, Desargues teoremi düzlemde olmayan bir nokta seçerek, bunu üçgenleri düzlemin dışına kaldırmak için kullanarak, böylece yukarıdaki argümanın çalışmasıyla ve sonra tekrar düzleme yansıtarak kanıtlanabilir. İzdüşüm uzayının boyutu 3'ten küçükse ispatın son adımı başarısız olur, çünkü bu durumda düzlemde olmayan bir nokta bulmak mümkün değildir.

Monge teoremi ayrıca, üç noktanın bir doğru üzerinde olduğunu ve onu iki boyuttan ziyade üç boyutta ele alma ve doğruyu iki düzlemin kesişim noktası olarak yazma fikrini kullanan bir kanıta sahip olduğunu iddia eder.

İki boyutlu kanıt

Desargues teoreminin doğru olmadığı Dezargsel olmayan izdüşümsel düzlemler olduğundan,[5] bunu kanıtlamak için bazı ekstra koşulların karşılanması gerekir. Bu koşullar genellikle, belirli bir tipte yeterince çok sayıda kolinasyonun (doğrudaşlamanın) varlığını varsaymaya gider ve bu da, altta yatan cebirsel koordinat sisteminin bir bölme halkası (aykırı cisim) olması gerektiğini göstermeye götürür.[6]

Pappus teoremi ile ilişkisi

[[Dosya:Pappus-proj-ev.svg|küçükresim|sol|{{Ortala|Pappus altıgen teoremi: X, Y ve Z noktaları Pappus doğrusu üzerinde eşdoğrusaldır. AbCaBc bir altıgendir.]] Pappus altıgen teoremi, bir altıgen AbCaBc, a, b ve c köşeleri bir doğru üzerinde ve A, B ve C köşeleri ikinci bir doğru üzerinde olacak şekilde çizilirse, altıgenin her iki zıt kenarının bir noktada kesişen iki doğru ve bu şekilde oluşturulan üç nokta eşdoğrusaldır. Pappus teoreminin evrensel olarak doğru olduğu düzleme Pappussel (Pappian) denir. Hessenberg (1905) [7], Desargues teoreminin Pappus teoreminin üç uygulamasından çıkarılabileceğini gösterdi.[8]

Bu sonucun tersi doğru değildir, yani tüm Dezargsel düzlemler, Pappussel değildir. Pappus teoremini evrensel olarak karşılamak, altta yatan koordinat sisteminin değişmeli olmasına eşdeğerdir. Değişmeli olmayan bir bölme halkası üzerinde tanımlanan bir düzlem (cisim olmayan bir bölme halkası) bu nedenle Dezargsel olacaktır, ancak Pappussel değildir. Bununla birlikte, tüm sonlu bölme halkalarının cisim olduğunu belirten küçük Wedderburn teoremi nedeniyle, tüm sonlu Dezargsel düzlemleri Pappussel'dir. Küçük Wedderburn teoreminin tüm gücü yerine sadece "temel" cebirsel gerçekleri kullanan bir kanıt Bamberg & Penttila (2015)'de verilmiş olmasına rağmen bu gerçeğin bilinen tam bir geometrik kanıtı yoktur.

Desargues yapılandırması

Desargues konfigürasyonu, karşılıklı olarak çizilmiş bir çift beşgen olarak görülür: her bir beşgen tepesi, diğer beşgenin kenarlarından birinden geçen doğru üzerinde uzanır.

Desargues teoreminde yer alan on doğru (üçgenlerin altı kenarı, üç Aa, Bb ve Cc doğrusu ile perspektif ekseni) ve ilgili on nokta (altı köşe, perspektif eksenindeki üç kesişme noktası ve perspektif merkezi) öylesine düzenlenmiştir ki, on doğrunun her biri on noktadan üçünden geçer ve on noktanın her biri on doğrunun üçünde yer alır. Bu on nokta ve on doğru, izdüşümsel bir konfigürasyon örneği olan Desargues konfigürasyonunu oluşturur. Desargues teoremi bu on doğru ve nokta için farklı roller seçmesine rağmen, Desargues konfigürasyonunun kendisi daha simetriktir: on noktadan herhangi biri perspektifin merkezi olarak seçilebilir ve bu seçim hangi altı noktanın üçgenlerin köşeleri ve hangi doğrunun perspektif ekseni olacağını belirler.

Küçük Desargues teoremi

Bu kısıtlı versiyon, iki üçgen belirli bir doğru üzerindeki bir noktadan perspektifse ve iki çift karşılık gelen kenar da bu doğru üzerinde kesişiyorsa, üçüncü çift kenarın da doğru üzerinde kesiştiğini belirtir. Bu nedenle, Desargues Teoreminin yalnızca perspektif merkezinin perspektif ekseninde yer aldığı durumlarda özelleşmesidir.

Bir Moufang düzlemi, küçük Desargues teoreminin her doğru için geçerli olduğu izdüşümsel bir düzlemdir.

Ayrıca bakınız

• Pascal teoremi

Notlar

1. Smith (1959, p. 307)
2. Katz (1998, p. 461)
3. Bu, teoremi yazmanın modern yolundan kaynaklanmaktadır. Tarihsel olarak, teorem yalnızca, "İzdüşümsel bir uzayda, bir çift merkezi perspektif üçgen, eksenel perspektiftir" şeklindedir ve bu ifadenin duali Desargues teoreminin tersi olarak adlandırılır ve her zaman bu adla anılırdı. Bkz. Coxeter 1964
4. Coxeter 1964 ss. 26–27.
5. Bunların en küçük örnekleri (Room & Kirkpatrick 1971)'de bulunabilir.
6. Albert & Sandler 1968, Hughes & Piper 1973, and Stevenson 1972.
7. (Dembowski 1968)'a göre, Hessenberg'in orijinal kanıtı tam değildir; Desargues konfigürasyonunda bazı ek olayların meydana gelme olasılığını göz ardı etti. Tam bir kanıt (Cronheim 1953) tarafından sağlanır.
8. Coxeter 1969

Kaynakça

• Albert, A. Adrian; Sandler, Reuben (2015) [1968], An Introduction to Finite Projective Planes, Dover, ISBN 978-0-486-78994-1
• Bamberg, John; Penttila, Tim (2015), "Completing Segre's proof of Wedderburn's little theorem", Bulletin of the London Mathematical Society, 47 (3), ss. 483-492, doi:10.1112/blms/bdv021
• Casse, Rey (2006), Projective Geometry: An Introduction, Oxford: Oxford University Press, ISBN 0-19-929886-6
• Coxeter, H.S.M. (1964), Projective Geometry, Blaisdell
• Coxeter, Harold Scott MacDonald (1969), Introduction to Geometry, 2nd, Wiley, ISBN 978-0-471-50458-0, MR 0123930
• Cronheim, Arno (1953), "A proof of Hessenberg's theorem", Proceedings of the American Mathematical Society, 4 (2), ss. 219-221, doi:10.2307/2031794, JSTOR 2031794, MR 0053531
• Dembowski, Peter (1968), Finite Geometries, Springer Verlag, ISBN 978-3-540-61786-0
• Hessenberg, Gerhard (1905), "Beweis des Desarguesschen Satzes aus dem Pascalschen", Mathematische Annalen, Springer, 61 (2), ss. 161-172, doi:10.1007/BF01457558, ISSN 1432-1807
• Hilbert, David; Cohn-Vossen, Stephan (1952), Geometry and the Imagination, 2nd, Chelsea, ss. 119-128, ISBN 0-8284-1087-9
• Hughes, Dan; Piper, Fred (1973), Projective Planes, Springer-Verlag, ISBN 0-387-90044-6
• Kárteszi, Ferenc (1976), Introduction to Finite Geometries, North-Holland, ISBN 0-7204-2832-7
• Katz, Victor J. (1998), A History of Mathematics:An Introduction, 2nd, Reading, Mass.: Addison Wesley Longman, ISBN 0-321-01618-1
• Room, Thomas G.; Kirkpatrick, P. B. (1971), Miniquaternion Geometry, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-07926-8
• Smith, David Eugene (1959), A Source Book in Mathematics, Dover, ISBN 0-486-64690-4
• Stevenson, Frederick W. (1972), Projective Planes, W.H. Freeman, ISBN 0-7167-0443-9
• Voitsekhovskii, M.I. (2001) [1994], "Desargues assumption", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press

Dış bağlantılar

• MathWorld'de Desargues Teoremi
• cut-the-knot'de Desargues Teoremi
• cut-the-knot'de Desargues vasıtasıyla monge teoremi
• PlanetMath'te Desargues teoreminin kanıtı
• Dinamik Geometri Çizimlerinde
• Desargues Teoremi
• Desargues Teoremi @geogebra