Euler formülü

Euler denklemi,

${\displaystyle e^{inx}=\cos(nx)+i\sin(nx)\,}$

şeklindeki eşitliktir. Burada i kompleks sayı ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$ dir ve sin, cos ve ${\displaystyle e^{nx}}$ için gerekli tüm türev ve integral koşullarını sağlamaktadır.

Bir örnekle ispatı

Bu basit türev denklemlerini kullanarak,

1. ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sin(nx)=n\cos(nx)}$
2. ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\cos(nx)=-n\sin(nx)}$
3. ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{nx}=ne^{nx}}$

Euler formülünün iki tarafının türevini alalım:

• ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{inx}=ine^{inx}=in\cos(nx)-n\sin(nx)}$
• ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}(\cos(nx)+i\sin(nx))=in\cos(nx)-n\sin(nx)}$

Görüyoruz ki denklemin iki tarafının da türevini aldığımızda aynı sonucu bulduk, ki bu bizim teoremimizi ispatlar.

Formülün varyantları

Euler formülü'nde x yerine

${\displaystyle \ln(x)\!}$,

${\displaystyle e^{ix}\!}$,

${\displaystyle ix+e^{ix}\!}$,

${\displaystyle x^{i}\!}$

gibi değişkenler konularak yeni bağıntılar türetilebilir. Bu bağıntılardan yaralanılarak yeni trigonometrik bağıntılara varılabilir ve yine bir kümenin alt küme sayılarını veren Bell sayıları'nı veren üreteç fonksiyonu'nde kompleks değişken verilerek trigonometrik analog'u bulunabilir. Aşağıda belirtilen gösterim şekilleri benzeştiği temel fonksiyon'a göredir:

Cebirsel gösterim

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x\!}$

ifadesinde x yerine ${\displaystyle \ln(x)\,n\!}$ konursa

${\displaystyle x^{i\,n}=\cos(\ln(x)\,n)+i\sin(\ln(x)\,n)\!}$

ve bu bu ifade yukardakinin daha genel şeklidir.

${\displaystyle \cos(\ln(x)\,n)={\frac {x^{i\,n}+x^{-i\,n}}{2}}\!}$,

${\displaystyle \sin(\ln(x)\,n)={\frac {x^{i\,n}-x^{-i\,n}}{2\,i}}\!}$ elde edilir

(n sabit bir sayı veya herhangi bir fonksiyon olabilir.)

ayrıca yukardaki bağıntılar yardımıyla

${\displaystyle \sum _{n=0}^{k}\ x^{i\,n}=\sum _{n=0}^{k}\cos(\ln(x)\,n)+i\sin(\ln(x)\,n)}$

toplamıda bulunabilir. x yerine x^{i} konursa

${\displaystyle \sum _{n=0}^{k}x^{i\,n}={\frac {1-x^{i\,(k+1)}}{1-x^{i}}}\!}$

İki katlı üstel

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x\!}$

temel eşitliği üs alınarak elde edilebilen özdeşliklerdir.

${\displaystyle e^{e^{ix}}=e^{\cos x+i\sin x\,}\!}$

${\displaystyle e^{e^{ix}}=e^{\cos x\,}\,[{\cos(\sin(x))+i\sin(\sin(x))}]\!}$

${\displaystyle e^{e^{-ix}}=e^{\cos x\,}\,[{\cos(\sin(x))-i\sin(\sin(x))}]\!}$

${\displaystyle e^{\cos x\,}\,{\cos(\sin(x))}={\frac {(e^{e^{ix}}+e^{e^{-ix}})}{2}}\!}$

${\displaystyle e^{\cos x\,}\,{\sin(\sin(x))}={\frac {(e^{e^{ix}}-e^{e^{-ix}})}{2i}}\!}$

x yerine

${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}-x\!}$ konursa;

${\displaystyle e^{\sin x\,}\,{\cos(\cos(x))}={\frac {(e^{-i\,e^{ix}}+e^{i\,e^{-ix}})}{2}}\!}$

${\displaystyle e^{\sin x\,}\,{\sin(\cos(x))}={\frac {(e^{-i\,e^{ix}}-e^{i\,e^{-ix}})}{2i}}\!}$

${\displaystyle tan(sin(x))=i{\frac {(e^{e^{ix}}-e^{e^{-ix}})}{(e^{e^{ix}}+e^{e^{-ix}})}}\!}$

${\displaystyle tan(cos(x))=i{\frac {(e^{-ie^{ix}}-e^{ie^{-ix}})}{(e^{-ie^{ix}}+e^{ie^{-ix}})}}\!}$

İmajiner trigonometrik

x-->ln(x) alınırsa

${\displaystyle e^{\cos(\ln(x))\,}\,{\cos(\sin(\ln(x)))}={\frac {e^{x^{i}}+e^{x^{-i}}}{2}}=\cos(i\,x^{i})\!}$

${\displaystyle e^{\cos(\ln(x))\,}\,{\sin(\sin(\ln(x)))}={\frac {e^{x^{i}}-e^{x^{-i}}}{2i}}=\sin(i\,x^{i})\!}$

${\displaystyle e^{\cos(\ln(x))\,}\,{\cos(\cos(\ln(x)))}={\frac {e^{-i\,x^{i}}+e^{i\,x^{-i}}}{2}}=\cos(x^{i})\!}$

${\displaystyle e^{\cos(\ln(x))\,}\,{\sin(\cos(\ln(x)))}={\frac {e^{-i\,x^{i}}-e^{i\,x^{-i}}}{2i}}=\sin(x^{i})\!}$

Karma bağıntılar

Üslerin toplamına göre

${\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)\!}$

${\displaystyle e^{-ix}=\cos(x)-i\sin(x)\!}$

ve

${\displaystyle e^{e^{ix}}=e^{\cos x\,}\,[{\cos(\sin(x))+i\sin(\sin(x))}]\!}$

${\displaystyle e^{e^{-ix}}=e^{\cos x\,}\,[{\cos(\sin(x))-i\sin(\sin(x))}]\!}$

yardımıyla karma bağıntılar elde edilebilir.

${\displaystyle e^{\cos x}[e^{i(\sin(x)+x)}+e^{-i(\sin(x)+x)}]=2\,e^{\cos(x)}(\cos(\sin(x)+x)\!}$

${\displaystyle e^{\cos x}[e^{i(\sin(x)+x)}-e^{-i(\sin(x)+x)}]=2\,i\,e^{\cos(x)}(\sin(\sin(x)+x)\!}$

sonuç olarak

${\displaystyle {\frac {e^{e^{ix}+ix}+e^{e^{-ix}-ix}}{2}}=e^{\cos(x)}(\cos(\sin(x)+x)\!}$

${\displaystyle {\frac {e^{e^{ix}+ix}-e^{e^{-ix}-ix}}{2\,i}}=e^{\cos(x)}(\sin(\sin(x)+x)\!}$

elde edilir.

${\displaystyle e^{\cos x}[e^{i(\sin(x)+x)}+e^{-i(\sin(x)+x)}]=2\,e^{\cos(x)}(\cos(\sin(x)+x)\!}$

${\displaystyle e^{\cos x}[e^{i(\sin(x)+x)}-e^{-i(\sin(x)+x)}]=2\,i\,e^{\cos(x)}(\sin(\sin(x)+x)\!}$

ifadesinde üs ifadesindeki x yerine y koyarak formülü daha da genelleştirebiliriz.Çünkü köşeli parantezin dışında üsse cos(x) ve x bağımsız olarak konup birleştirilmiştir,cos(x) değiştirilmezken x yerine y konabilir.

${\displaystyle e^{\cos x}[e^{i(\sin(x)+y)}+e^{-i(\sin(x)+y)}]=2\,e^{\cos(x)}(\cos(\sin(x)+y)\!}$

${\displaystyle e^{\cos x}[e^{i(\sin(x)+y)}-e^{-i(\sin(x)+y)}]=2\,i\,e^{\cos(x)}(\sin(\sin(x)+y)\!}$

Üslerin çarpımına göre

Buradaki ifadeler

${\displaystyle e^{ix(e^{ix})}=e^{ix[\cos(x)+i\sin(x)]}\!}$

${\displaystyle e^{-ix(e^{-ix})}=e^{-ix[\cos(x)-i\sin(x)]}\!}$

veya

${\displaystyle e^{ix(e^{ix})}=[\cos(x)+i\sin(x)]^{[\cos(x)+i\sin(x)]}\!}$

${\displaystyle e^{-ix(e^{-ix})}=[\cos(x)-i\sin(x)]^{[\cos(x)-i\sin(x)]}\!}$

eşitliğidir.

${\displaystyle e^{ix(e^{ix})}=e^{ix\cos(x)-xsin(x)}\!}$

${\displaystyle e^{-ix(e^{-ix})}=e^{-ix\cos(x)-xsin(x)}\!}$

${\displaystyle e^{-x\sin(x)}{\cos(x\cos(x))}={\frac {e^{ix(e^{ix})}+e^{-ix(e^{-ix})}}{2}}=\cos(xe^{ix})\!}$

${\displaystyle e^{-x\sin(x)}{\sin(x\cos(x))}={\frac {e^{ix(e^{ix})}-e^{-ix(e^{-ix})}}{2\,i}}=\sin(xe^{ix})\!}$

x yerine -x konursa;

${\displaystyle e^{-x\sin(x)}{(-\sin(x\cos(x)))}={\frac {e^{-ix(e^{-ix})}-e^{ix(e^{ix})}}{2\,i}}=\sin(xe^{-ix})\!}$

${\displaystyle \cos(xe^{ix})+\sin(xe^{-ix})={e^{-x\sin(x)}}{[{\cos(x\cos(x))}-{\sin(x\cos(x))}]}\!}$

Bell sayıları ile ilgisi

Eric Temple Bell'e atfedilmiştir.

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}}{n!}}x^{n}=e^{e^{x}-1}.}$

Ayrıca bakınız

• Doğal logaritma
• Üstel fonksiyon
• Euler özdeşliği
• Bell Sayıları
• Bell serisi
• Leonhard Euler
• Bessel fonksiyonları