Genelliği kaybetmeden

Genelliği kaybetmeden veya daha az kullanılan şekliyle genellikten hiç kayıp vermeden, matematikte sıkça kullanılan bir deyimdir. Bu deyim önermenin örneklem kümesini daraltarak analizin kapsamını küçülten bir ispat geliştirirken, bir varsayımdan önce kullanılır; ispatın bu altkümedeki geçerliliğinin tüm kümeye genelleştirilebileceğini ima eder. Böylece önermenin kaynak kümesinin bir altkümesinde gerçekleştirilen bir "alt-ispat"tan elde edilen sonuçların anaküme için de geçerli olacağını ifade eder.

Bu durum genelde simetri bakışımlılık gerektirir. Örneğin, x ve y şeklinde iki sayımız olsun ve x < y olduğu bilinsin; bu durumda bu varsayıma dayanarak ispat edilen tüm ilişkiler tamamlayıcı durum olan y < x için de geçerli olacaktır, zira x ve y nin rolleri değişmiştir, fakat ispat bu iki değişkende bakışımlıdır. Başka bir deyişle P(x, y)'nin doğru olduğu sonucuna ancak ve ancak P(y, x) doğru ise ulaşabiliyorsak, o halde genelliği kaybetmeden P(x, y) 'nin doğru olduğunu göstermemiz yeterlidir, zira bakışım gereği P(y, x) sonucumuzu takip edecektir. Bu bağlamda, P bakışımlıdır (simetriktir).

Genelliği kaybetmeden deyiminden sonra bir varsayım gelmelidir. Genelliğin kaybolmadığını denetlemek için ispatın tamamını yazar (kaynak kümesini daraltılmış bir varsayım yapmadan) ve ispatın tüm kümede geçerli olup olmayacağına bakarız.

Örnek

Aşağıdaki kuramı inceleyelim (Ramsey'in kuramının en basit hali ve ayrıca Dirichlet'in güvercin yuvası ilkesinin bir örneğidir):

Üç cisimden her biri ya kırmızıya ya da maviye boyanmıştır; o halde rengi aynı olan iki cisim olmalıdır.

İspat:

Genelliği kaybetmeden ilk cismin kırmızı olduğunu varsayalım. Eğer kalan iki cisimden herhangi biri kırmızı ise işimiz bitmiştir; eğer değilse kalan iki cisim mavidir ve dolayısıyla yine işmiz bitmiştir.

Tam ispata tüm permütasyonların dökümüyle başlayalım, K ile başlayanları M ile başlayanlardan ayıralım:

1. KKK
2. KKM
3. KMK
4. KMM
5. MKK (4'ün tersi)
6. MKM (3'ün tersi)
7. MMK (2'nin tersi)
8. MMM (1'in tersi)

Toplamda, beklediğimiz gibi 8 tanedirler (2 × 2 × 2). Şimdi görüyoruz ki ayrık listeler varsayımımız altında birbirlerine denktirler (ilk yarıdakilerde K ve M'nin yerlerini değiştirerek ikinci yarıdakileri elde edebiliyoruz, ve tersi), o halde varsayımımızı sadece K ile başlayan yarı üzerinde denememiz yeterlidir.

Daha kısa olan listeyi tarayarak (1-4 arası permütasyonlar) her defasında aynı renkte olan iki cisim olduğunu görebiliriz. 1-3 arası permütasyonlarda ilkinden sonra en az bir cismin kırmızı olduğunu görüyoruz, ve 4. permütasyonda da son iki cisim mavi.

Önermemizi kısıtlandırma işlemini yaparken dikkat ettiğimiz iki nokta;

1. Cisimlerin sıralanma şeklinin bir şeyi değiştirmeyeceğini fark etmemiz
2. Rengin "türü" ile değil de "sayısı" ile ilgileniyor olmamız

Bu iki varsayımımız da "aynı renk" gerektiren (gevşek bir gereklilik) sonucumuzla uyumludur.