Homotopi

Temel grup cebirsel topolojiden gelen ve topolojik uzayın neye benzediğini anlamak için kullanılan bir araçtır. Yani topolojik uzayın cebirsel bir tasvirini bize verir. Sezgisel olarak şöyle: X bir topolojik uzay ve x0, X'in bir elemanı olsun. x0 noktasında başlayıp X üzerinde kalarak x0 biten yolların hepsini düşünün. Bunlar topolojik uzay üzerinde bir eğri oluştururlar. Bu şekilde başlangıç ve bitiş noktası aynı olan yollara ilmek (ya da döngü, çevrim. İngilizce: loop) denir. Bazı ilmekler birbirine homotopik olarak denk, bazıları da değildir. Birbirine denk olan ilmekler arasında hiçbir fark görmememiz gerekmektedir. Oluşturulan bu küme π1(X,x0) şeklinde yazılır. Bu küme x0 noktasındaki başlayıp biten tüm yollardan oluşur ve birbirine homotopik olan ilmekler bu kümede aynı elemandır. Bu küme üzerinde şöyle bir işlem tanımlayalım: İki tane ilmeği alalım ve uç uca ekleyelim. π1(X,x0) kümesi bu işlemle bir grup yapısı oluşturur.

Matematiksel tanımlar şöyledir:

X bir topolojik uzay olsun. X üzerinde bir yol sürekli bir γ : [0,1] → X fonksiyonudur. Eğer γ(0) = γ(1) ise γ'ya ilmek denir. Şimdi bir x0 noktası alalım. Homotopi denkliği x0 noktasından geçen tüm ilmekler kümesini denklik sınıflarına ayırır. Yukarıda π1(X,x0) şeklinde yazdığımız küme aynen bu denklik sınıflarının oluşturduğu kümedir.

Şimdi işlemimizi tanımlayalım. α ve β,α(1)=β(0) olacak şekilde iki yol olsun. α ve β'nın çarpımı (ya da uçuca eklenmesi) şöyle tanımlanır:

α⋆β(s) = {α(2s)β(2s−1)s≤12s≥12

İki yolu birleştirebilmek için birinin başlangıç noktası diğerinin bitiş noktası olmalıdır. Bu yüzden bu işlem tüm yollar kümesi üzerine bir grup oluşturamaz. Fakat yollar yerine ilmekleri alırsak ⋆ işlemi π1(X,x0) kümesi üzerinde bir grup yapısı tanımlar. Tabii bunu kanıtlamak için öncelikle homotopi denkliğinin bir denklik bağıntısı olduğunu göstermek, sonra ⋆ işleminin iyi tanımlı olduğunu yani [α]⋆[β] =[α⋆β] olduğunu, birleşme özelliğini sağladığını, bir etkisiz elemanı olduğunu ve son olarak da her elemanın bir tersinin olduğunu kanıtlamak gerekiyor.

(π1(X,x0),⋆) grubuna X topolojik uzayının temel grubu denir. Temel grup bir topolojik değişmezdir yani eğer iki topolojik uzay birbirine homeomorf ise bu topolojik uzayların temel grupları birbirine izomorftur.