Kare (cebir)
Cebirde bir sayının karesi o sayının kendisiyle çarpılması sonucu elde edilen sayıdır. Karesi alınan x sayısı x² biçiminde yazılır.
x bir pozitif gerçel sayı ise x² değeri, ayrıt uzunluğu x olan bir karenin alanına eşittir.
Bir sayının karesi toplam biçiminde de ifade edilebilir.
0 ≤ n için
- 1 + 1 + 2 + 2 + ... + (n - 1) + (n - 1) + n
Faktöriyel ve kare bağıntısının uygulaması
2!+(2.(x+2)²-(x+1)²=(x+3)²
Örneğin, 4'ün karesi
- 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4 = 16'ya eşittir.
Sonuç, üç birimlik bir kareye bir sütun ve bir satır eklenmesiyle oluşan yeni şeklin alanını ifade etmektedir. Bu yöntem, büyük sayıların karelerini kolay yoldan hesaplama olanağı sunmaktadır. Örneğin,
- 52² = 50² + 50 + 51 + 51 + 52 = 2500 + 204 = 2704
Bu işlem bir dizi biçiminde ifade edilmek istenirse
eşitliği yazılabilir.
Bir sayının karesi farklı yollarla da ifade edilebilir. N pozitif bir tam sayı olmak üzere N'nin karesi ilk N tek tam sayının toplamına eşittir.
Örneğin, 7'nin karesi
- 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = 49
biçiminde hesaplanabilir.
Kullanımı
Negatif ve pozitif gerçel sayıların karelerinin pozitif oluşu önemli sonuçlar doğurmaktadır. Bunlardan ilki, hiçbir negatif sayıya gerçel sayılar kümesi üzerinde karekök alma işlemi uygulanamıyor oluşudur. Bu olgunun gerçel sayılar sisteminde yarattığı boşluk karmaşık sayılar tarafından doldurulmaktadır.
Kare alma işlemi istatistikte bir dizi değerin standart sapmasını hesaplamak amacıyla da kullanılmaktadır. Her değerinin ortalamasından sapma büyüklüğü farkı olarak tanımlanmaktadır. Bu sapmaların karesi alındıktan sonra yeni bir ortalama belirlenmektedir. Varyans olarak adlandırılan bu değerin karekökü standart sapmayı vermektedir.
