Kesişen kesenler teoremi

Kesişen kesen (sekant) teoremi veya sadece kesen (sekant) teoremi, kesişen iki sekant ve ilişkili çember tarafından oluşturulan doğru parçalarının ilişkisini açıklayan temel bir geometri teoremidir.

${\displaystyle \triangle PAC\sim \triangle PBD}$'den faydalanarak ${\displaystyle |PA|\cdot |PD|=|PB|\cdot |PC|}$ sonucu elde edilir.

Açıklama

${\displaystyle P}$'de birbiriyle kesişen iki ${\displaystyle AD}$ ve ${\displaystyle BC}$ doğrusu ve ${\displaystyle B}$ ile ${\displaystyle C}$'dekine karşılık gelen ${\displaystyle A}$ ile ${\displaystyle D}$'deki çember parçası (segment) için aşağıdaki denklem geçerlidir:

${\displaystyle |PA|\cdot |PD|=|PB|\cdot |PC|}$

Teorem, ${\displaystyle \triangle PAC}$ ve ${\displaystyle \triangle PBD}$ üçgenlerinin benzer olduğu gerçeğini doğrudan takip eder. ${\displaystyle AB}$ yayını gören çevre açılar olduğundan ${\displaystyle \angle DPC}$ ve ${\displaystyle \angle ADB=\angle ACB}$ açısını paylaşırlar. Benzerlik, yukarıda verilen teoremin denklemine eşdeğer olan oranlar için aşağıdaki gibi bir denklem verir:

${\displaystyle {\frac {PA}{PC}}={\frac {PB}{PD}}\Leftrightarrow |PA|\cdot |PD|=|PB|\cdot |PC|}$

Kesişen kirişler teoremi ve teğet-kesen teoreminin yanında, kesişen sekantlar teoremi, iki kesişen doğru ve bir çember hakkında daha genel bir teoremin üç temel durumundan birini temsil eder - noktanın kuvveti teoremini.

İspat

Kesişen Sekant Teoreminin Kanıtı:

(1) ${\displaystyle \angle EDC\cong \angle CDE}$ // Her iki üçgen için ortak açı, eşitliğin yansıma özelliği

(2) ${\displaystyle \angle PDB\cong \angle PCA}$ // Aynı yayı oluşturan (gören) çevre açılar eşittir

(3) ${\displaystyle \angle DBP\cong \angle CAP}$ // (1), (2), Üçgendeki açıların toplamı

(4) ${\displaystyle \triangle PDB\sim \triangle PCA}$ // AAA benzerliğinden

(5) ${\displaystyle |PA|\cdot |PD|=|PB|\cdot |PC|}$ // (4), benzer üçgenlerin özelliğinden oranlar içler dışlar çarpımı yapılarak nihai sonuç elde edilir.

Kaynakça

• Gottwald, S. (2012), The VNR Concise Encyclopedia of Mathematics, Springer, ss. 175-176, ISBN 9789401169820
• O'Leary, Michael L. (2010), Revolutions in Geometry, Wiley, s. 161, ISBN 9780470591796
• Schülerduden - Mathematik I (Almanca) (8 bas.), Mannheim: Bibliographisches Institut & F.A. Brockhaus, 2008, ss. 415-417, ISBN 978-3-411-04208-1

Dış bağlantılar

• Secant Secant Theorem @ proofwiki.org
• Power of a Point Theorem @ cut-the-knot.org
• Eric W. Weisstein, Chord (MathWorld)