Lie gruplarının tablosu

Bu yazıda bazı yaygın Lie grupları ve bununla ilişkili Lie cebirleri tablosu verilmiştir. Aşağıda belirtilenler: Grupların topolojik özellikleri (boyutu; bağıntılılık; tamlık;Temel grup'un doğası; ve basit bağlantı olup olmamasıdır) yanı sıra cebirsel özellikleri de vardır (değişmeli; basit; yarıbasit). Basit Lie gruplarının listesinin diğer ilgili konuları ve Lie gruplarının daha fazla örneğini görmek için;üç boyut üstündeki grupların Bianchi sınıflandırması ; ve Lie grup konularının listesi ne bakılmalıdır.

Gerçek Lie grupları ve bunların cebri

sütun gösterge

• CM:bu grup G tam? (Evet veya Hayır)
• ${\displaystyle \pi _{0}}$: G'nin bileşenlerin grupları verir. Bileşen grubunun yerine bağlantılı bileşenler. nın sayılarını verir.Bu grup bağlantı yalnız ve yalnız bileşen grubu önemsiz ( 0 ile ifade edilir)dır
• ${\displaystyle \pi _{1}}$: G'nin temel grup verdiğinde G bağlantılıdır. Bu grup yalın bağlantı yalnız ve yalnız temel grup önemsiz (0 ile ifade edilir)dir
• UC: Eğer G sade bağlantılı değilse, G'nin evrensel örtük'ünü verir.

Lie grubu	Tanımı	CM	${\displaystyle \pi _{0}}$	${\displaystyle \pi _{1}}$	UC	Açıklamalar	Lie cebiri	boyut/R
R^n	Öklid uzayı ile toplama	N	0	0		değişmeli	R^n	n
R^×	nonzero Reel sayılars ile çarpım	N	Z2	–		değişmeli	R	1
R^+	pozitif gerçel sayılarla çarpım	N	0	0		değişmeli	R	1
S^1 = U(1)	çember grubu:mutlak değer 1'in karmaşık sayılar'ı , ile çapım;	Y	0	Z	R	değişmeli,SO(2)'ya izomorfiktir, Spin(2), ve R/Z	R	1
Aff(1)	tersinebilir afin dönüşümler R den R.ye	N	Z2	0		çözünebilen,R^+'nin yarıdoğrudan çarpımı ve R^×	${\displaystyle \left\{\left[{\begin{smallmatrix}a&b\\0&0\end{smallmatrix}}\right]:a,b\in \mathbb {R} \right\}}$	2
H^×	sıfır-olmayan dördey'ler ile çarpım	N	0	0			H	4
S^3 = Sp(1)	mutlak değer 1'in dördey , ile çarpım; topolojik bir 3-küre	Y	0	0		SU(2) ye izomorfiktir ve Spin(3) ye; SO(3)'ün çift örtüsü	Im(H)	3
GL(n,R)	general linear group: tersinebilir n×n gerçel matrisler	N	Z2	–			M(n,R)	n^2
GL^+(n,R)	n×n gerçel matrisler ile pozitif determinant	N	0	Z  n=2 Z2 n>2		GL^+(1,R) R^+ ye izomorfiktir ve yalın bağlantıdır	M(n,R)	n^2
SL(n,R)	özel doğrusal grup: gerçel matris ile determinant 1	N	0	Z  n=2 Z2 n>2		SL(1,R) bir yalın nokta ve bu nedenle tam ve basit bağlantıdır	sl(n,R)	n^2−1
SL(2,R)	Poincaré yarı-düzlemi'nin yönelim koruyucu izometrilerinde,SU(1,1)'ya izometrik,Sp(2,R)'ya izometriktir.	N	0	Z		evrensel örtü sonlu-boyutla bağlı gösterimler yoktur	sl(2,R)	3
O(n)	dik grup: gerçel dik matrisler	Y	Z2	–		küre'nin simetri grubu (n=3) veya hiperküre.	so(n)	n(n−1)/2
SO(n)	özel dik grup: gerçek dik matrisler ile determinant 1	Y	0	Z  n=2 Z2 n>2	Spin(n) n>2	SO(1) bir tekil nokta ve SO(2) çember grubu'na izomorfiktir, SO(3) kürenin rotasyon grubudur.	so(n)	n(n−1)/2
Spin(n)	spin grubu: SO(n)'un çift örtüsü	Y	0 n>1	0 n>2		Spin(1) Z2 ye izomorfiktir ve bağlantılı değildir; Spin(2) çember grubuna izomorf ve sade bağlantılı değil	so(n)	n(n−1)/2
Sp(2n,R)	simplektik grup: gerçel simplektik matrisler	N	0	Z			sp(2n,R)	n(2n+1)
Sp(n)	tıkız simplektik grup: dördeysel n×n birimsel matris	Y	0	0			sp(n)	n(2n+1)
U(n)	birim grup: karmaşık n×n birimsel matris	Y	0	Z	R×SU(n)	n=1 için :S^1 ya izomorfik. Not:bu karmaşık bir Lie grubu ve cebir değil	u(n)	n^2
SU(n)	özel birimsel grup: karmaşık n×n birim matrisler ile determinant 1	Y	0	0		Not: bu bir karmaşık Lie grubu/cebiri değil	su(n)	n^2−1

Gerçek Lie cebri

gösterge Tablosu:

• S:bu cebir yalınmı? (Evet veya Hayır)
• SS:bu cebir yarı-yalınmı? (Evet veya Hayır)

Lie cebiri	Tanımı	S	SS	Açıklamalar	boyut/R
R	bu gerçel sayı, bu Lie braket sıfırdır				1
R^n	Lie braketi sıfırdır				n
R^3	Bu Lie braketi çapraz çarpım'ıdır				3
H	dördeyler, değişmeli Lie braketi ile				4
Im(H)	Sıfır gerçel kısmı ile dördeyler,Lie braket komütatörü ile;Gerçek 3-vektörleri izomorftur, Lie braketi ile çapraz çarpım; ayrıca su(2)'ya izomorfik ve so(3,R)'ye	Y	Y		3
M(n,R)	n×n matrisi,Lie braketi ile komütatörü				n^2
sl(n,R)	kare matrisler ile iz 0, Lie braketi ile komütatörü	Y	Y		n^2−1
so(n)	çarpık-simetrik kare gerçel matrisler, ile Lie braket komutatörü.	Y	Y	istisna: so(4) yarı-yalın, ama basit değil.	n(n−1)/2
sp(2n,R)	gerçel matrisler bu JA + A^TJ = 0 uygundur.bu J çarpık-simetrik matris standarttır	Y	Y		n(2n+1)
sp(n)	kare dördeyik matrisler A uygundur A = −A^*, ile Lie braketi ile komütatörü	Y	Y		n(2n+1)
u(n)	kare karmaşık matrisler A uygundur A = −A^*, Lie braketi ile komütatörü				n^2
su(n) n≥2	kare karmaşık matrisler A ile iz 0 uygundur A = −A^*, Lie braketi ile komütatörü	Y	Y		n^2−1

Karmaşık Lie grupları ve bunların cebiri

Bu verilen boyut C üzerinde boyuttur. Her karmaşık Lie grubu/cebiri de iki boyutun gerçek bir Lie grubu/cebri olarak görülebilir unutmayın.

Lie grubu	Tanımı	CM	${\displaystyle \pi _{0}}$	${\displaystyle \pi _{1}}$	UC	Açıklamalar	Lie cebiri	boyut/C
C^n	grup operasyon toplamıdır	N	0	0		değişmeli	C^n	n
C^×	sıfır-olmadan karmaşık sayılar ile çarpım	N	0	Z		değişmeli	C	1
GL(n,C)	genel doğrusal grup: tersinebilir n×n karmaşık matrisler	N	0	Z		n=1: için C^× ye izomorfik	M(n,C)	n^2
SL(n,C)	özel doğrusal grup: kompleks matrisler ile determinant 1	N	0	0		n=1 için bu tek bir noktadan ve böylece tamdır.	sl(n,C)	n^2−1
SL(2,C)	SL(n,C)'in özel durumu n=2 için	N	0	0		Spin(3,C)'e izomorfik,Sp(2,C)'a izomorfiktir	sl(2,C)	3
PSL(2,C)	İzdüşümsel özel doğrusal gruptur	N	0	Z2	SL(2,C)	Möbius grubu'na izomorfik,sınırlı Lorentz grubu SO^+(3,1,R)'e izomorfik,SO(3,C)'ya izomorfiktir.	sl(2,C)	3
O(n,C)	dik grup: karmaşık dik matrisler	N	Z2	–		n=1 için tıkız	so(n,C)	n(n−1)/2
SO(n,C)	Özel dik grup: belirleyici 1 ile karmaşık dik matrisler	N	0	Z  n=2 Z2 n>2		SO(2,C) değişmelidir ve C^×ye izomorfiktir; n>2. SO(1,C) için değişmeli olmayan tek bir noktadan ve böylece kompakt ve basit bağlantılıdır	so(n,C)	n(n−1)/2
Sp(2n,C)	simplektik grup: karmaşık simplektik matrisler	N	0	0			sp(2n,C)	n(2n+1)

Karmaşık Lie cebiri

Verilen boyutlar C üzerinde boyutlarıdır. Unutmadan; her karmaşık Lie cebiri de iki boyutlu gerçek bir Lie cebri olarak görülebilir.

Lie cebiri	Tanımı	S	SS	Açıklamalar	boyut/C
C	karmaşık sayılar				1
C^n	Lie braket sıfırdır				n
M(n,C)	n×n matrisler, ile Lie braketi ile komütatörü				n^2
sl(n,C)	kare matrisler ile iz 0,Lie braketi ile komütatörü	Y	Y		n^2−1
sl(2,C)	sl(n,C) nin özel durumu n=2 ile	Y	Y	su(2)'ye izomorfik ${\displaystyle \otimes }$ C	3
so(n,C)	çarpık-simetrik kare karmaşık matris, ile Lie braketi komutatörü	Y	Y	istisna: so(4,C) yarı-yalın, ama yalın değil.	n(n−1)/2
sp(2n,C)	karmaşık matrislere bu uygundur JA + A^TJ = 0 burada J standard çarpık-simetrik matris'tir	Y	Y		n(2n+1)

Kaynakça

• Şablon:Fulton-Harris