Temel grup

Temel grup, cebirsel topolojide bir topolojik uzaya eşlenen, topolojik uzayın delik sayısı ve şekli gibi bilgileri içeren matematiksel bir gruptur. Bu eşleme topolojik uzay üzerinde sabitlenmiş bir noktadaki döngülerin birbirlerine homotopik (büzülme) olup olmadıklarına göre yapılır. Temel grup, homotopi gruplarının ilki ve en basitidir. Homeomorf olan topolojik uzayların aynı temel grubu olur. Bu bakımdan topolojik bir değişmezdir.

İlk olarak Henri Poincaré tarafından 1895'te Analysis Situs çalışmasında tanımlanmıştır.

Homotopi

Yol[1]

${\displaystyle f}$yolu, ${\displaystyle [0,1]}$ aralığından ${\displaystyle \mathrm {X} }$ topolojik uzayına giden sürekli bir fonksiyondur. ${\displaystyle f(0)=x_{0}\in \mathrm {X} }$ başlangıç noktası, ${\displaystyle f(1)=x_{1}\in \mathrm {X} }$bitiş noktası diye adlandırılır.

Döngü[1]

${\displaystyle f}$döngüsü, ${\displaystyle [0,1]}$ aralığından ${\displaystyle \mathrm {X} }$ topolojik uzayına giden başlangıç ve bitiş noktaları aynı olan sürekli bir fonksiyondur.

Tanım[1]

${\displaystyle \mathrm {X} }$ bir topolojik uzay olsun. Yolların homotopisi ${\displaystyle f_{t}:[0,1]\rightarrow \mathrm {X} }$, ${\displaystyle t\in [0,1]}$ fonksiyon ailesidir öyle ki; başlangıç noktası ${\displaystyle f_{t}(0)=x_{0}\in \mathrm {X} }$ ve bitiş noktası ${\displaystyle f_{t}(1)=x_{1}\in \mathrm {X} }$ ${\displaystyle t}$'den bağımsız olmalı ve ${\displaystyle F(s,t)=f_{t}(s)}$ şeklinde eşleştirdiğimiz ${\displaystyle F:I\times I\rightarrow \mathrm {X} }$ fonksiyonu sürekli olmalı.

Örnek[1]

${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$'de aldığımız aynı yerde başlayıp aynı yerde biten herhangi iki ${\displaystyle f_{0}}$ ve ${\displaystyle f_{1}}$ yolunu birbirlerine ${\displaystyle f_{t}(s)=(1-t)f_{0}(s)+tf_{1}(s)}$ homotopisi ile bağlayabiliriz. Yani ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ üzerindeki aynı noktalarda başlayan ve biten yolları ya da döngüleri birbirlerine büzebiliriz.

Tanım

${\displaystyle \mathrm {X} }$ bir topolojik uzay ve ${\displaystyle x_{0}\in \mathrm {X} }$ olsun. ${\displaystyle x_{0}}$ noktasındaki tüm döngüleri içeren ${\displaystyle \{f:[0,1]\rightarrow \mathrm {X} \;|\;f(0)=f(1)=x_{0}\}}$ kümesine homotopi bağıntısını koyarsak ${\displaystyle \mathrm {X} }$ topolojik uzayının ${\displaystyle x_{0}}$noktasındaki döngülerine göre temel grubunu elde etmiş oluruz. ${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})}$ şeklinde gösteriyoruz. Grubumuzun işlemi olan ${\displaystyle \ast }$işlemini önce ${\displaystyle f}$ döngüsünü iki kat hızlı sonra ${\displaystyle g}$döngüsünü iki kat hızlı gitmek olarak tanımlıyoruz. Burada ${\displaystyle [f\ast g]=[f]\ast [g]}$ olduğundan homotopi denklik bağıntısı sınıflarında temsilci seçmenin önemsiz olduğunu söylüyoruz. Grubumuzun birim elemanı ${\displaystyle x_{0}}$noktasındaki sabit döngünün denklik sınıfıdır. Bir ${\displaystyle [f]}$ elemanın tersi ise ${\displaystyle f^{-1}(t)=f(1-t)}$ şeklinde tanımlanan ${\displaystyle [f^{-1}]}$ denklik sınıfıdır. ${\displaystyle x_{0}}$noktasının seçimi ${\displaystyle \mathrm {X} }$ topolojik uzayı eğer yol bağlı ise önemsizdir.

Örnekler

${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ üzerindeki döngüler yukarıdaki örnekte bahsettiğimiz homotopi ile birbirlerine büzülebiliyorlar. Yani bütün döngüler sabit döngüye büzülebilir. Bu da bize ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$'in temel grubunun bariz grubudur. ${\displaystyle S^{1}}$ birim çemberinin temel grubu ${\displaystyle \mathbb {Z} }$'dir. Burada ${\displaystyle S^{1}}$ üzerindeki döngülerin kaç kere döndüklerini sayıyoruz. Örneğin bir döngü 3 kere dönüyorsa bu döngüyü 3'e gönderiyoruz.

Kaynakça

1. Allen Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press (2002) ISBN 0-521-79540-0

Allen Hatcher, Algebraic Topology 19 Mayıs 2018 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.