Penrose grafik gösterimi

Matematik ve fizikte, Penrose Grafik Gösterimi veya Tensör Diyagram Gösterimi, fonksiyonların ya da tensorlerin bir -genellikle el yazısı- görsel tasviri için Roger Penrose tarafından önerilen yöntemdir.[1] Gösterimde bir diyagram gibi çok hatları ile birbirine bağlantılı çeşitli şekiller oluşur. Tamirci Oyuncakları, gösterim Predrag Citanović tarafından yaygın olarak incelenmiştir. Klasik Lie Grupları'nı sınıflandırmak için kullanmıştır. [2] Ayrıca fizik Dokunmuş Ağlar Temsil Teorisi kullanarak genelleştirilmiş, ve Lineer Cebir' deki Matris Gruplarının İz Diyagramı ile varolmuştur .

Yorumlama

Çokludoğrusal cebir

Çokludoğrusal cebir'in dilinde, her şekil bir çokludoğrusal fonksiyon gösterimidir. Bir fonksiyonun girişler veya çıkışları şekillere bağlı hatları temsil eder. ve bir şekilde bir arada ekleme şekilleri fonksiyonların kompozisyonu esastır.

Tensörler

tensor cebiri'nin dilinde, özel olarak tensör yukarı ve aşağı doğru uzanan çok sayıda çizgilerle özel bir şekil ile ilişkilidir, Tensörlerin soyut karşılığı sırasıyla üst ve alt indisleridir.İki şekil arasındaki ara bağlantı indislerin kontraksiyonu'na karşılık gelir . Bir bu gösterim'in bir avantajı yeni indisler için yeni harfler icat etmek zorunda değildir. Bu gösterim is açıkça taban-bağımlıdır.[3]

Matrisler

her şekil bir matrisi gösterir, ve tensör çarpımı yatay olur, ve matris çarpımı dikey olur.

Özel tensörlerin gösterimi

Metrik tensör

metrik tensör bir U-şekli döngüsü tarafından veya bir ters U-şekil döngüsü tarafından gösterimi, kullanılan tensörünün türüne bağlı olarak değişir.

metrik tensör ${\displaystyle g^{ab}\,}$

metrik tensör ${\displaystyle g_{ab}\,}$

Levi-Civita tensörü

Levi-Civita antisimetrik tensörü tensörün türüne bağlı olarak, aşağı ya da yukarı bakacak kalın yatay çubukları kullanılmaktadır

${\displaystyle \varepsilon _{ab\ldots n}}$

${\displaystyle \epsilon ^{ab\ldots n}}$

${\displaystyle \varepsilon _{ab\ldots n}\,\epsilon ^{ab\ldots n}}$${\displaystyle =n!}$

Yapı sabiti

Bir Lie cebir'inin Yapı sabiti(${\displaystyle {\gamma _{ab}}^{c}}$) bir satır yukarıya ve iki satır aşağıyı gösteren küçük bir üçgen tarafından temsil edilir

Yapı sabiti ${\displaystyle {\gamma _{\alpha \beta }}^{\chi }=-{\gamma _{\beta \alpha }}^{\chi }}$

Tensör operasyonları

İndisin büzülmesi

İndislerin büzülme'si indis çizgileri girişi tarafından gösterilir.

Kronecker delta ${\displaystyle \delta _{b}^{a}}$

nokta çarpım ${\displaystyle \beta _{a}\,\xi ^{a}}$

${\displaystyle g_{ab}\,g^{bc}=\delta _{a}^{c}=g^{cb}\,g_{ba}}$

Simetrizasyon

İndislerin Simetrizasyon'u bir kalın zig-zag tarafından gösterilir veya yatay indis sıraların çaprazlandığı dalgalı çubuk.

Simetrizasyon ${\displaystyle Q^{(ab\ldots n)}}$ (with ${\displaystyle {}_{Q^{ab}=Q^{[ab]}+Q^{(ab)}}}$)

Antisimetrizasyon

İndilerin Antisymmetrizasyon'u yatay indis sıraların çaprazlandığı kalın düz bir çizgi ile temsil.

Antisimetrizasyon ${\displaystyle E_{[ab\ldots n]}}$ (with ${\displaystyle {}_{E_{ab}=E_{[ab]}+E_{(ab)}}}$)

Determinant

Determinant indislere antisimetrizasyon uygulanmasıyla oluşturulur.

Determinant ${\displaystyle \det \mathbf {T} =\det \left(T_{\ b}^{a}\right)}$

matrisin tersi ${\displaystyle \mathbf {T} ^{-1}=\left(T_{\ b}^{a}\right)^{-1}}$

Kovaryant türev

kovaryant türev (${\displaystyle \nabla }$) bir çemberin çevresindeki the tensör(ler) tarafından farklılaştırılan gösterimdir ve bir çizgi çember türevinin alt indeksini temsil etmek için aşağı doğru işaret giren durumlardır.

kovaryant türev ${\displaystyle 12\nabla _{a}\left\{\xi ^{f}\,\lambda _{fb[c}^{(d}\,D_{gh]}^{e)b}\right\}}$

Tensör Düzenlemesi

Şematik gösterim tensör cebiri işlenmesi için yararlıdırmanipülasyonlarının birkaç basit kullanılan "özellik" içerir Örneğin ${\displaystyle \varepsilon _{a...c}\epsilon ^{a...c}=n!}$, burada n boyutların sayısıdır,bir ortak "özellik"tir.

Riemann eğrilik tensörü

Riemann eğrilik tensörü cinsinden verilen Ricci ve Bianchi kimlikleri gösterimin gücünü göstermektedir.

Riemann eğrilik tensörü için gösterim

Ricci tensörü ${\displaystyle R_{ab}=R_{acb}^{\ \ \ c}}$

Ricci özdeşliği ${\displaystyle (\nabla _{a}\,\nabla _{b}-\nabla _{b}\,\nabla _{a})\,\mathbf {\xi } ^{d}}$${\displaystyle =R_{abc}^{\ \ \ d}\,\mathbf {\xi } ^{c}}$

Bianchi özdeşliği ${\displaystyle \nabla _{[a}R_{bc]d}^{\ \ \ e}=0}$

Bağlantılar

gösterim spinör'ler ve twistör'ler gösterimini desteklemek için genişletilmiştir.[4][5]

Ayrıca bakınız

• Özet indis gösterim
• Örgülü monoidal kategori
• Kategorik kuantum mekaniği tensör diyagram gösterimi kullanır
• Ricci hesabı
• Spin network lar
• İz diyagramı
• Açısal momentum şemaları (kuantum mekaniği)

Notlar

1. see e.g. Quantum invariants of knots and 3-manifolds" by V. G. Turaev (1994), page 71
2. Predrag Cvitanović (2008). Group Theory: Birdtracks, Lie's, and Exceptional Groups. Princeton University Press. 20 Temmuz 2011 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 28 Kasım 2013.
3. Roger Penrose, The Road to Reality: A Complete Guide to the Laws of the Universe, 2005, ISBN 0-09-944068-7, Chapter Manifolds of n dimensions.
4. Penrose, R.; Rindler, W. (1984). Spinors and Space-Time: Vol I, Two-Spinor Calculus and Relativistic Fields. Cambridge University Press. ss. 424-434. ISBN 0-521-24527-3. 3 Ocak 2014 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 28 Kasım 2013.
5. Penrose, R.; Rindler, W. (1986). Spinors and Space-Time: Vol. II, Spinor and Twistor Methods in Space-Time Geometry. Cambridge University Press. ISBN 0-521-25267-9. 3 Ocak 2014 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 28 Kasım 2013.

Şablon:Roger Penrose Şablon:Tensors