Rabin şifreleme sistemi

Rabin şifreleme sistemi, Rabin kriptoloji veya Rabin kriptosistemi, asitmetrik şifreleme tekniğidir. Güvenliği RSA'ya benzemektedir. Büyük sayıları çarpmanın zorluğuna dayanan kriptosistemlerdir. Bununla birlikte RSA problemi için kriptosistemin doğru olduğu şu anda kanıtlanamamış tam sayıları çarpma zorluğu Rabin kriptosistemler için kanıtlanmıştır. Rabin fonksiyonunun her bir çıktısı herhangi mümkün 4 girdi tarafından üretilebilmesinden dolayı bir dezavantaja sahiptir. Eğer her bir çıktı bir şifreli metin ise, ekstra bir karmaşıklık 4 mümkün girdiden düz metin için doğru olanı seçmemiz gerektiğinden Rabin kriptosistemlerde mevcuttur.

Tarih

Süreç Michael O. Rabin tarafından Ocak 1979'da yayınlandı. Rabin kriptosistemi asal sayıların çarpımı kadar zorluğu kanıtlanmış, şifreli metinden tüm düz metni kapsayan ilk kriptosistemdi.

Anahtar Üretimi

Tüm asimetrik kriptosistemlerle birlikte, Rabin sistemi de hem açık anahtar hem de özel anahtar kullanır. Açık anahtar daha sonraki şifrelemeler için gereklidir. Özel anahtar ise sadece mesajın alıcısı tarafından sahip olunulmalıdır.

Kesin anahtar üretimi süreci aşağıdaki gibidir: ---iki tane çok büyük ve farklı p , 'q asalsayıları seçilir. Karekökün hesaplanmasını basitleştirmek için bir tanesini ${\displaystyle p\equiv q\equiv 3{\pmod {4}}}$ yöntemi ile seçebiliriz. Fakat yöntem herhangi bir asal sayıyla çalışır.

${\displaystyle n=p\cdot q}$. Olsun. Burada  n açık anahtardır. Asal sayılar p ve q  özel anahtarlardır.

Mesajı şifrelemek için sadece açık anahtar n gereklidir. Şifreli metni deşifrelemek için n ‘ nin p q çarpanları gereklidir.

Bir örnek olarak eğer ${\displaystyle p=7}$ and ${\displaystyle q=11}$, o zaman ${\displaystyle n=77}$ olur. Açık anahtar 77 paylaşılır ve mesaj 77 kullanılarak şifrelenir. Mesajı çözmek için özel anahtarlar 7 ve 11 bilinmek zorundadır. (Elbette burada anahtarların seçimi kötüdür. 77'nin çarpanlarına ayrılması basittir gerçek örneklerde daha büyük sayılar kullanılır.)

Şifreleme

Şifreleme için, sadece açık anahtar n kullanılır, bu yüzden düz metnin haricinde bir şifreli metin üretilmiş olur. Süreç aşağıdaki gibidir.

${\displaystyle P=\{0,\dots ,n-1\}}$ düz metin uzayımız oldun (sayılar içeriyor) ve ${\displaystyle m\in P}$ ve düz metin olsun. Şimdi ${\displaystyle c}$ şifreli metnimiz :

${\displaystyle c=m^{2}\,{\bmod {\,}}n}$. ile belirlenir.

Yani c , n anahtar sayısının moduna göre düz metnin karesinin kuadratik kalanıdır. Bizim basit örneğimizde ${\displaystyle P=\{0,\dots ,76\}}$ bizim düzmetin uzayımızdır. Biz ${\displaystyle m=20}$ yi bizim düz metnimiz olarak alacağız. Bu yüzden şifreli metin ${\displaystyle c=m^{2}\,{\bmod {\,}}n=400\,{\bmod {\,}}77=15}$. Açıkça m nin 4 farklı değeri ${\displaystyle m\in \{13,20,57,64\}}$ için, şifreli metin 15 üretilir. Bu Rabin algoritması tarafından üretilen çoğu şifrelimetinler için geçerlidir.

Deşifreleme

Şifrelemeyi çözmek için özel anahtarlar gerekir. Süreç aşağıdaki gibidir. Eğer c ve r bilinirse düz metin ${\displaystyle m^{2}\equiv c{\pmod {r}}}$ ile ${\displaystyle m\in \{0,\dots ,n-1\}}$ olacaktır. r bir kompozit sayıdır kompozit sayı asal olmayan herhangi bir pozitif sayıdan daha büyük pozitif sayı demektir. Eğer N >0 bir tam sayı ise ve N=a*b gibi 1<a,b,<N sayısı var ise o zaman N kompozit sayı demektir.(yani Rabin algoritmasının ${\displaystyle n=p\cdot q<nowiki>}$</nowiki> formülüne benzer ) m yi bulmak için bilinen daha etkili bir method yoktur. Eğer asalsa (Rabin algoritmasındaki p ve q gibi )çin kalan teoremi m nin çözümü için başvurulabilecek bir metodtur. Bu yüzden kare kökler

:${\displaystyle m_{p}={\sqrt {c}}\,{\bmod {\,}}p}$

ve

:${\displaystyle m_{q}={\sqrt {c}}\,{\bmod {\,}}q}$

Hesaplanılmış olmalıdır. Bizim örneğimizde ${\displaystyle m_{p}=1}$ ve ${\displaystyle m_{q}=9}$. alalım Genişletilmiş Öklid Algoritması uygulanarak biz ${\displaystyle y_{p}}$ ve ${\displaystyle y_{q}}$ yu bulmak isteyelim.

 ${\displaystyle y_{p}\cdot p+y_{q}\cdot q=1}$.  ile  bulunur.ve bizim örneğimizde   ${\displaystyle y_{p}=-3}$ and ${\displaystyle y_{q}=2}$ bulunur.

Şimdi, çin kalan teoreminin çağırılmasıyla ${\displaystyle c+n\mathbb {Z} \in \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ ve c nin 4 kare kökü (${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$hesaplanılır. {0,....n-1} ${\displaystyle \{0,\dots ,n-1\}}$: içindeki 4 kare kök :

${\displaystyle {\begin{matrix}r&=&(y_{p}\cdot p\cdot m_{q}+y_{q}\cdot q\cdot m_{p})\,{\bmod {\,}}n\\-r&=&n-r\\s&=&(y_{p}\cdot p\cdot m_{q}-y_{q}\cdot q\cdot m_{p})\,{\bmod {\,}}n\\-s&=&n-s\end{matrix}}}$

dir.

Bu kareköklerin bir tanesi ${\displaystyle \mod \,n}$ orijinal düzmetin m dir. Bizim örneğimizde ${\displaystyle m\in \{64,\mathbf {20} ,13,57\}}$ dir.

Rabin kendi makalesinde eğer bir kişi hem ${\displaystyle r}$ hem de ${\displaystyle s}$ yi hesaplayabilirse o zaman ${\displaystyle n}$ nin çarpanlarınıda hesaplayabileceğini bize şöyle gösteriyor

:ya ${\displaystyle \gcd(|r-s|,n)=p}$ ya ${\displaystyle \gcd(|r-s|,n)=q}$, where ${\displaystyle \gcd }$ means Greatest common divisor.

gcd en büyük ortak bölen anlamına gelir.

Çünkü eğer sen ${\displaystyle r}$ ve ${\displaystyle s}$ yi biliyorsan, en büyük ortak bölen ${\displaystyle n}$ nin çarpanlarını bulmak için etkili bir hesaplama yöntemidir bizim örneğimizde ( ${\displaystyle 57}$ ve ${\displaystyle 13}$ ü ${\displaystyle r}$ ve ${\displaystyle s}$ olarak alalım):

${\displaystyle \gcd(57-13,77)=\gcd(44,77)=11=q}$

Kare Köklerin Hesaplanması

Deşifreleme şifreli metninin kare köklerini hesaplamak için c mod asal sayı p ve q yu gerektirir.

${\displaystyle m_{p}=c^{\frac {(p+1)}{4}}\,{\bmod {\,}}p}$

and

${\displaystyle m_{q}=c^{\frac {(q+1)}{4}}\,{\bmod {\,}}q}$.

Dur. Biz bu metodun p için çalışmasını aşağıdaki gibi gösterebiliriz. İlk (p+1)/4 ün , ${\displaystyle p\equiv 3\!\!\!{\pmod {4}}}$ bir tam sayı olduğunu gösterir. c≡0 (mod p) için varsayım basittir. Bu yüzden biz p nin c ‘ye bölünmediğini varsayabiliriz. O zaman:

${\displaystyle m_{p}^{2}\equiv c^{\frac {(p+1)}{2}}\equiv c\cdot c^{\frac {(p-1)}{2}}\equiv c\cdot \left({c \over p}\right){\pmod {p}},}$

${\displaystyle \left({c \over p}\right)}$ Legendre symbolü dür.

${\displaystyle c\equiv m^{2}{\pmod {pq}}}$ den  aşağıdaki gibi 
${\displaystyle c\equiv m^{2}{\pmod {p}}}$.  Hesaplanılır.

Bu yüzden c , modul p nin kuadratik kalanıdır. Bu yüzden ${\displaystyle \left({c \over p}\right)=1}$dir ve

${\displaystyle m_{p}^{2}\equiv c{\pmod {p}}.}$

${\displaystyle p\equiv 3{\pmod {4}}}$ ilişkisi bir gereksinim değildir. Çünkü kare kökler in diğer asal sayılarla modulude hesaplanılabilir.

Rabin kare köklerin asal sayılarla modlarını bulmak için Berlekamp's algoritmasının özel bir durumunu kullanmayı önerir.

Algoritmanın Gelişimi

Etkililiği

Çözme aşaması bir doğru sonuca ek 3 yanlış sonuç üretir. Bu yüzden doğru sonucun tahmin edilmesi gereklidir. Bu Rabin kripto sistemin ana dezavantajıdır ve geniş alanda pratik kullanımda yaygınlaşmasını önleyen faktörlerden bir tanesi bu dezavantajıdır.

Eğer düz metin mesajını gösterebilmek için girintili başlarsa, tahmin etmek hiç zor olmayacaktır. Ancak eğer düz metin sayısal bir değeri göstermeye niyetlenilmişse, bu bazı belirsiz şemaların çözülmesi problemini beraberinde getirir. Belirli yapılarla düzmetni seçmek mümkündür ya da ekleme yaparak bu problemin üstesinden gelinilebilir. Tersine yapının belirsizliğini ortadan kaldırmanın bir yöntemi Blum ve Williams tarafından ortaya atılmıştır. 2 kullanılan iki asal sayı mod 3 ve mod 4 e eşlenik asal sayılara ayrılır ve karenin alanı kuadratik kalanların kümesine ayrılır. Bu ayrımlar belirsizliği eler.

Verimliliği

Şifreleme için, kare mod n hesaplanılmış olmalıdır. Bu en azından kübik hesaplama gerektiren RSA'dan daha etkindir.

Deşifreleme için kalan teorem 2 moduler üssellerle birlikte uygulanır. Burada da verimliliği yine RSA'nın ki ile karşılaştırılabilir.

Güvenliği

Rabin kripto sisteminin büyük avantajı rastgele bir düz metni ancak n açık anahtarını çarpanlarına ayırabilen bir hasım tarafından şifreli metinden tümüyle elde edilebilmesinin kolay olmamasıdır. Bu güvenlik seviyesinin en düşüğüdür. Rabin kriptosistemin genişletilmesi güvenliği daha da sağlamlaştırmıştır.

Rabin kriptosistemin çözülmesi tam sayıları çarpanlara ayırma probleminin çözümüne eş olduğu kanıtlanmıştır. Bu da Rabin'i RSA'dan daha farklı kılar. Bu yüzden Rabin sistemi Rsa'dan daha güvenlidir ve çarpanlara ayırma problemi için bir çözüm keşfedilene kadar böyle kalacaktır. (bu düzmetnin kolayca çözecek belirli bir yapıyla oluşturulmadığını varsayar.)

Çünkü çarpanlara ayırma problemine bir çözüm birçok farklı yönlerde araştırılmıştır. Herhangi bir çözüm (NSA gibi araştırma organizasyonu dışında sınıflanan) tüm bilimsel topluluğa çabucak ulaşacaktır. Bununla birlikte bir çözüm gelmesi uzundur ve çarpanlara ayırma problemi pratik olarak bir çözüm bulunamamıştır. Bu gibi bir avantajı olmadan bir saldırgan bugün kodu çözecek şansa sahip olamayacaktır. Bu kriptosistem seçilmiş düz metin ataklarına karşı kanıtlanmış güvenilirdir.

Bununla birlikte aktif bir saldırgan sistemi seçilmiş şifreli metin ataklarını kullanarak kırabilir bu da matematiksel olarak kanıtlanılabilirdir.

Fazlalıkları ekleyerek mesela son 64 bitin tekrarıyla sisteme tek bir kök ürettirilebilir. Bu seçilmiş şifreli metin saldırganını engeller çünkü çözme algoritması sadece saldırganın çoktan bildiği kökleri üretir. Eğer bu teknik uygulanırsa, çarpanlara ayırma probleminin zorluğuna eşdeğerlik kanıtı başarısızı oluru bu yüzden 2004'ten beri belirsiz kalmıştır. Handbook of Applied Cryptography kitabında bu kanıtlanılabilir eşitlik göz önüne alınmıştır.

Kaynakça

• Buchmann, Johannes. Einführung in die Kryptographie. İkinci Baskı. Berlin: Springer, 2001. 3-540-41283-2
• Menezes, Alfred; van Oorschot, Paul C.; and Vanstone, Scott A. Handbook of Applied Cryptography. CRC Press, Ekim 1996. 0-8493-8523-7
• Rabin, Michael. Digitalized Signatures and Public-Key Functions as Intractable as Factorization (in PDF). MIT Bilgisayar Bilimi Laboratuvarı, Ocak 1979.
• Scott Lindhurst, An analysis of Shank's algorithm for computing square roots in finite fields. in R Gupta and K S Williams, Proc 5th Conf Can Nr Theo Assoc, 1999, vol 19 CRM Proc & Lec Notes, AMS, Ağustos 1999.
• R Kumanduri and C Romero, Number Theory w/ Computer Applications, Alg 9.2.9, Prentice Hall, 1997. İkinci dereceden bir kalan modülasının kare kökü için bir olasılık.

Dış bağlantılar

• Menezes, Oorschot, Vanstone, Scott: Handbook of Applied Cryptography ( PDF), Bölüm 8