Reynolds transport teoremi

Diferansiyel kalkülüste, Reynolds transport teoremi, Leibniz–Reynolds transport teoremi veya kısaca Reynolds teoremi, integralin türevi olarak da bilinen Leibniz integral kuralının genelleştirilmiş üç boyutlu hâli. Teorem ismini Osborne Reynolds'dan alır. Sürekli ortamlar mekaniğinin temel denklemlerini daha kullanışlı hâle getirir.

f = f(x,t)'in ∂Ω(t) sınırına sahip zamana bağlı Ω(t) bölgesinde integralinin alındığı düşünülür ve ardından zamana göre türev alınırsa:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{\Omega (t)}\mathbf {f} \,dV.}$

Eğer türev integralin içine taşınmak istenirse iki sorunla karşılaşılır: f zamana bağlıdır ve hareketli sınırlardan ötürü Ω alanı değişmektedir. Reynolds transport teoremi gerekli bağlantıyı sağlar.

Genel form

Reynolds transport teoremi şu şekilde ifade edilebilir:[1][2][3]

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{\Omega (t)}\mathbf {f} \,dV=\int _{\Omega (t)}{\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial t}}\,dV+\int _{\partial \Omega (t)}\left(\mathbf {v} ^{b}\cdot \mathbf {n} \right)\mathbf {f} \,dA}$

n(x,t) dış yönlü birim normal vektörü; x bölgedeki bir noktayı ve integrasyon değişkenini; dV ve dA, x'deki hacim ve yüzey elemanlarını; v^b(x,t) alan elemanının hızını (akış hızını değil) temsil eder. f fonsiyonu tensör, vektör veya skaler olabilir.[4] Denklemin sol tarafındaki integral sadece zamana bağlı bir fonksiyon olduğu için tam türev kullanılmıştır.

Maddesel elemanlar için form

Sürekli ortamlar mekaniğinde bu teorem maddesel elemanlar için sıklıkla kullanılır. Bu elemanlar, süreklilik içinde tanımlanabilecek en küçük akışkan veya katı parçacıklarıdır ve bunlara herhangi bir madde giriş-çıkışı olmadığı kabul edilir. Eğer Ω(t) maddesel eleman ise, bir v = v(x,t) hız fonksiyonu vardır ve sınır elemanları şu denkliğe uyar: ${\displaystyle \mathbf {v} ^{b}\cdot \mathbf {n} =\mathbf {v} \cdot \mathbf {n} .}$ Bu denklik genel forma uygulanırsa şu denklem elde edilir:[5]

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\int _{\Omega (t)}\mathbf {f} \,dV\right)=\int _{\Omega (t)}{\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial t}}\,dV+\int _{\partial \Omega (t)}(\mathbf {v} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {f} \,dA.}$

Ayrıca bakınız

• Leibniz integral kuralı

Kaynakça

1. L. G. Leal, 2007, p. 23.
2. O. Reynolds, 1903, Cilt 3, sf. 12–13
3. J.E. Marsden ve A. Tromba, 5. bas. 2003
4. H. Yamaguchi, Engineering Fluid Mechanics, Springer c2008 p23
5. T. Belytschko, W. K. Liu, and B. Moran, 2000, Nonlinear Finite Elements for Continua and Structures, John Wiley and Sons, Ltd., New York.

Notlar

• Leal, L. G. (2007). Advanced transport phenomena: fluid mechanics and convective transport processes. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-84910-4.
• Marsden, J. E.; Tromba, A. (2003). Vector Calculus (5th bas.). New York: W. H. Freeman. ISBN 978-0-7167-4992-9.
• Reynolds, O. (1903). Papers on Mechanical and Physical Subjects. Vol. 3, The Sub-Mechanics of the Universe. Cambridge: Cambridge University Press.

Dış bağlantılar

• Osborne Reynolds, Collected Papers on Mechanical and Physical Subjects, in three volumes, published circa 1903, now fully and freely available in digital format:Volume 1, Volume 2, Volume 3,
• https://web.archive.org/web/20080327180821/http://www.catea.org/grade/mecheng/mod6/mod6.html#slide1
• http://planetmath.org/reynoldstransporttheorem2+Nisan+2015+tarihinde+Wayback+Machine+sitesinde+arşivlendi.