Runge teoremi

Karmaşık analizde Runge yaklaşım teoremi olarak da bilinen Runge teoremi 1885 yılında Alman matematikçi Carl Runge tarafından kanıtlanmış bir sonuçtur. Teorem, Runge'ye ithafen isimlendirilmiştir ve şunu ifade etmektedir:

Mavi tıkız kümede holomorf olan bir f fonksiyonu ve her delikte bir nokta verilsin. f'ye sadece bu üç noktada kutupları olan rasyonel fonksiyonlarla istendiği kadar yaklaşım yapılabilir.

${\displaystyle K}$ karmaşık sayılar kümesi ${\displaystyle \mathbb {C} }$ nin tıkız bir altkümesiyse, ${\displaystyle A}$ kümesinin içinde ${\displaystyle \mathbb {C} \backslash K}$ nin sınırlı bağlantılı bileşenlerinin her birinden en az bir karmaşık sayı bulunuyorsa ve f fonksiyonu ${\displaystyle K}$ üzerinde holomorfsa, o zaman kutupları ${\displaystyle A}$ içinde olan rasyonel fonksiyonlardan oluşan bir ${\displaystyle (r_{n})}$ dizisi vardır öyle ki bu ${\displaystyle (r_{n})}$ dizisi f 'ye ${\displaystyle K}$ üzerinde düzgün bir şekilde yakınsar.

${\displaystyle A}$ kümesinin herhangi bir noktası, bu ${\displaystyle (r_{n})}$ dizisini oluşturan rasyonel fonksiyonların kutup noktası olmak zorunda değildir. Burada bilinen ise şudur: ${\displaystyle (r_{n})}$ dizisindeki rasyonel fonksiyonların kutupları varsa, o zaman bunlar ${\displaystyle A}$ nın içindedir.

Bu teoremi güçlü kılan şeylerden birisi de teoremdeki ${\displaystyle A}$ kümesinin istenilen bir şekilde seçilebilmesidir. Başka bir deyişle, ${\displaystyle \mathbb {C} \backslash K}$ nin sınırlı bağlantılı bileşenlerinden istenilen şekilde karmaşık sayılar seçilebilir. O zaman, teorem sadece bu seçilen sayılarda kutupları olan bir rasyonel fonksiyon dizisinin varlığını garanti eder.

${\displaystyle \mathbb {C} \backslash K}$ nin bağlantılı küme olduğu özel durumda, teoremdeki ${\displaystyle A}$ kümesi açık bir şekilde boş olacaktır. Kutup noktaları olmayan rasyonel fonksiyonlar aslında polinomlardan başka bir şey olmadığı için, teoremin şu sonucu elde edilecektir: Eğer ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle \mathbb {C} }$ nin tıkız bir altkümesiyse, ${\displaystyle \mathbb {C} \backslash K}$ bağlantılı bir kümeyse ve f fonksiyonu ${\displaystyle K}$ üzerinde holomorfsa, o zaman f 'ye ${\displaystyle K}$ üzerinde düzgün bir şekilde yakınsayan bir polinom dizisi ${\displaystyle (p_{n})}$ vardır.

Bu teoremin biraz daha genelleştirilmiş hali ise ${\displaystyle A}$ kümesi Riemann küresinin, yani ${\displaystyle \mathbb {C} }$∪{∞} un, altkümesiyse ve ayrıca ${\displaystyle A}$ nın (şimdi ∞'u da kapsayan) ${\displaystyle K}$ kümesinin sınırsız bağlantılı bileşeninle kesişimi varsa elde edilir. Yani, üstte verilen formülasyonda rasyonel fonksiyonların sonsuzda kutupları var olabilirken, daha genel durumdaki formülasyonda, kutup ${\displaystyle K}$ nin sınırsız bağlantılı bileşenindeki herhangi bir yerde seçilebilir.

Ayrıca bakınız

• Mergelyan teoremi

Kaynakça

• John B. Conway, A Course in Functional Analysis, Springer; 2. baskı (1997), ISBN 0-387-97245-5.--Fonksiyonel Analizde Bir Ders.
• Robert E. Greene and Steven G. Krantz, Function Theory of One Complex Variable, American Mathematical Society; 2. baskı (2002), ISBN 0-8218-2905-X.--Bir Karmaşık Değişkenli Fonksiyon Teorisi.