Sembolik mantık
Sembolik Mantık kavramının anlaşılması için ilk olarak önermenin açıklanması gerekir. Önerme; bir yargı belirten, doğru veya yanlış olan cümlelere denir. Örneğin; "Ankara, Türkiye'nin güneyindedir." cümlesi bir önermedir ve bu önerme yanlıştır. "1 Ocak, yeni bir yılın başlangıcıdır." önermesi ise doğru bir önermedir. Önermeler mantığında basit önermeler p, q, r, s, t, v, z, ... gibi önerme sembolleriyle gösterilir.
- Doğru ya da yanlış kesin hüküm bildiren ifadelere önerme denir. 11 Ocak 2021 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
- Matematikte önermeler; p, q, r, s, t gibi küçük harflerle ifade edilir. 11 Ocak 2021 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
- Önermelerin doğruluk değeri belirlenirken önerme doğru ise D veya 1 ile, yanlış ise Y veya 0 ile gösterilir. 11 Ocak 2021 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
- N tane önermenin doğruluk değeri için alabileceği 2n tane farklı durum vardır. 11 Ocak 2021 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
- Bir önermenin olumsuzuna önermenin değili denir. Bir p önermesinin değili ~p veya p' ile gösterilir. 11 Ocak 2021 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
Önerme eklemlerinin sembolik mantıkta kullanımı aşağıdaki tablodaki gibidir.
| Önerme metni | Sembolü | Kullanımı | Örnek önerme | Mantıkta kullanımı |
|---|---|---|---|---|
| Değil | ~
' |
değil | Ali öğrenci değildir. | ~p
p' |
| ∧ | ve | Ali ve Mehmet öğrencidir. | p∧q | |
| ∨ | veya | Ali veya Mehmet gelecektir. | p∨q | |
| ∨ | ya da | Ali ya da Mehmet gelir. | p∨q | |
| Koşullu önerme | ⇒ | ise | Ali gelir ise haberim olsun. | p⇒q |
| İki yönlü koşullu önerme | ⇔ | ancak ve ancak | Ancak ve ancak çalışırsa başarır. | p⇔q |
Değil: Olumlu bir önermeyi olumsuz hale, olumsuz bir önermeyi ise olumlu hale getirir.
- Mehmet öğrencidir. (q)
- Mehmet öğrenci değildir. (~q)
Önerme iki defa değillenirse tekrar kendine döner. Yani ~[~(p)]=p
Ve (∧): İki basit önermenin "ve" ile bağlanmasıyla oluşan önermedir. Önermenin doğruluğu, önermeyi oluşturan bütün bileşenlerin aynı anda doğru olmasına bağlıdır.
Veya (∨): İki basit önermenin "veya" ile bağlanmasıyla oluşan önermedir. Bu önermenin doğru olabilmesi için, önermelerden en az bir tanesinin doğru olması yeterdir.
Ya Da (∨): İki basit önermenin "ya da" ile bağlanmasıyla oluşan önermedir. Bu önermenin doğru olabilmesi için, önermelerden sadece 1 tanesi doğru olmalıdır.
İse (⇒): İki basit önermenin "ise" ile bağlanmasıyla oluşan ekleme koşul önermesi denir.Koşul önermesinde ön bileşen doğru, sonraki bileşen yanlış değer almışsa bileşik önerme yanlış değer alır. Diğer durumlarda önerme doğru değer alır.
Ancak ve ancak (⇔): İki basit önerme "ancak ve ancak ... ise" ile birleştirilmişse, ortaya çıkan bileşik önermeye karşılıklı koşul önermesi adı verilir. Bu önerme türünde, bileşenlerin hepsi de aynı değeri almışsa önerme doğru, diğer hallerde yanlıştır. Dolayısıyla, karşılıklı koşul ekleminin doğru olabilmesi için, bileşenlerden ikisi de doğru ya da ikisi de yanlış olmalıdır.
Önermelerin doğruluk değeri D ve Y harfleri, 1 ve 0 sayıları ile belirtilir. Önerme doğru ise doğruluk değeri D veya 1, yanlış ise doğruluk değeri Y veya 0 olur. Bu önerme çeşileri tek yargı belirttiği için basit önermedir. Bileşik önermeler iki veya daha çok yargıyı birleştiren önermelerdir. Bu önermelerdeki yargılar mantık eklemleri -ise, ve, veya, ya da, ancak ve ancak- ile birbirine bağlanır. Örneğin; "Ali öğretmen veya öğrencidir." Bu cümlede "Ali öğretmendir." ifadesi ile "Ali öğrencidir." önermeleri "veya" eklemi ile birbirine bağlanmıştır.
n sayıda önermenin adet ihtimali vardır.
Aşağıdaki tabloda (p∧q)' ∧ [r'∨(p∧q)] ⇒ r önermesinin ihtimalleri bulunmuştur.
| p | q | r | r' | p∧q | (p∧q)' | r'∨(p∧q) | (p∧q)' ∧ [r'∨(p∧q)] | (p∧q)' ∧ [r'∨(p∧q)] ⇒ r |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 |