Taban (lineer cebir)

Lineer cebirde, taban, bir vektör uzayını tanımlamak için yeterli vektör kümesidir. Bir V vektör uzayının alt kümesi B bu uzayın tabanıysa, V'nin tüm elemanları B'nin elemanlarının biricik sonlu doğrusal birleşimleri şeklinde yazılabilir. Bu doğrusal birleşimlerin katsayıları, vektörün B üzerindeki bileşenleri ya da koordinatları olarak adlandırılır. Taban B'nin elemanlarına taban vektörleri denir.

Aynı vektör iki farklı tabanla (mor ve kırmızı) gösteriliyor.

Başka bir deyişle, eğer B'nin elemanları doğrusal olarak bağımsızlarsa ve V'nin tüm elemanları bunların birer doğrusal birleşimiyse, B V'nin tabanıdır.[1] Daha genel terimlerle, bir taban doğrusal olarak bağımsız bir germe kümesidir.

Bir vektör uzayının birçok tabanı olabilir; ancak tüm tabanlar aynı sayıda öğeye sahiptir ve bu sayıya vektör uzayının boyutu denir.

Tanım

Bir V vektör uzayının F alanı (mesela gerçel sayılar ${\displaystyle R}$ ya da karmaşık sayılar ${\displaystyle C}$) üzerinde tanımlı B tabanı, V'nin doğrusal olarak bağımsız alt kümesidir ve V'yi gerer. Yani B aşağıdaki iki koşulu sağlıyorsa tabandır:

• doğrusal bağımsızlık özelliği:

B'nin her sonlu alt kümesi ${\displaystyle \{v_{1},\dotsc ,v_{m}\}}$ için, eğer bazı ${\displaystyle c_{1},\dotsc ,c_{m}(\in F)}$ katsayıları için ${\displaystyle c_{1}v_{1}+\cdots +c_{m}v_{m}=0}$ ise ${\displaystyle c_{1}=\cdots =c_{m}=0}$ olmalıdır;

• germe özelliği:

Her ${\displaystyle v(\in V)}$ vektörü için, ${\displaystyle v=a_{1}v_{1}+\cdots +a_{n}v_{n}}$ eşitliğini sağlayan ${\displaystyle a_{1},\dotsc ,a_{n}(\in F)}$ katsayıları ve ${\displaystyle v_{1},\dotsc ,v_{n}(\in B)}$ vektörleri bulunabilir.

${\displaystyle a_{i}}$ skalerleri v vektörünün B tabanındaki koordinatları olarak adlandırılır ve birinci özellik uyarınca biriciktir.

Sonlu tabana sahip bir vektör uzayı sonlu-boyutludur. Bu durumda, doğrusal bağımsızlık özelliğine bakılırken alt kümeye değil B'nin kendisine bakılır.

Sıklıkla taban vektörlerin sıralanması tercih edilir. Bu, özellikle oryantasyondan bahsedilirken ya da bir vektörün katsayıları tabanla eşleştirilirken anlatımı kolaylaştırır. Sıralanmanın tercih edildiği durumlara sıralı taban denir ve küme yerine dizi ya da benzeri bir nesneyle gösterilir.

Örnek

R²'nin standart tabanları. Mavi ve turuncu vektörler tabanın elemanlarıdır; Yeşil vektör, bu tabanların birleşimi şeklinde yazılabilir, dolayısıyla onlara doğrusal olarak bağımlıdır.

• Gerçel sayıların sıralı ikililerinden oluşan R² kümesi, bileşen toplamı

${\displaystyle (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d),}$

ve skaler çarpım

${\displaystyle \lambda (a,b)=(\lambda a,\lambda b),}$ (${\displaystyle \lambda \in R}$)

için bir vektör uzayıdır. Bu vektör uzayının basit bir tabanı, ya da standart tabanı, iki vektörden oluşur: e₁ = (1,0) ve e₂ = (0,1). Çünkü, herhangi bir vektör v = (a, b) ${\displaystyle \in }$ R² şu şekilde yazılabilir:

${\displaystyle v=ae_{1}+be_{2}.}$

R²'nin tabanı olabilecek bir diğer vektör kümesi (1, 1) ve (−1, 2)'den oluşur. Bu iki vektör bağımsızdır ve R²'deki tüm vektörleri oluşturabilirler.

Kaynakça

1. Halmos, Paul Richard (1987). Finite-Dimensional Vector Spaces (4th bas.). New York: Springer. s. 10. ISBN 978-0-387-90093-3.