Tersçapraz

Doğrusal cebirde, bir A dizeyinin tersçaprazı (transpose) A^T şeklinde ifade edilir (diğer gösterimler A′, A^tr or A^t). Bir dizeyin tersçaprazı aşağıdaki şekillerde elde edilebilir:

• A dizeyinin ilkköşegene göre yansıması alınarak A^T elde edilir,
• A dizeyinin satırları A^T dizeyinin sütünları olarak yazınca elde edilir,
• veya A dizeyinin sütünları A^T dizeyinin satırları olarak yazılınca elde edilir.

A^T dizeyinin (i,j) ögesi A dizeyinin (j,i) ile gösterilen ögesine eşittir:

${\displaystyle [\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }]_{ij}=[\mathbf {A} ]_{ji}}$

Eğer A dizeyi m × n bir dizey ise A^T dizeyi n × m bir dizeydir. Bir sayılın (skaler) tersçaprazı yine o sayıldır.

Örnekler

• ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}.}$

• ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1&3\\2&4\end{bmatrix}}.}$

• ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1&3&5\\2&4&6\end{bmatrix}}.\;}$

Özellikler

A, B dizeyleri ve c sayılı için aşağıdaki özellikler geçerlidir:

1. ${\displaystyle (\mathbf {A} ^{\mathrm {T} })^{\mathrm {T} }=\mathbf {A} \quad \,}$

   Bir dizeyin tersçaprazının tersçaprazı kendisidir.

2. ${\displaystyle (\mathbf {A} +\mathbf {B} )^{\mathrm {T} }=\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }+\mathbf {B} ^{\mathrm {T} }\,}$

   Toplama işlemine göre yukardaki gibi dağıtılabilir.

3. ${\displaystyle \left(\mathbf {AB} \right)^{\mathrm {T} }=\mathbf {B} ^{\mathrm {T} }\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }\,}$

   Dizey çarpımının tersçaprazı yukardaki gibidir; dizeylerin çarpımının sırası değişir ve iki dizeyinde tersçaprazı alınır. Dizey çarpımında sıra değişikliğine dikkat edilmesi gereklidir.

4. ${\displaystyle (c\mathbf {A} )^{\mathrm {T} }=c\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }\,}$

   Sayıl ile dizey çarpımının tersçaprazı alınırken sayıl olduğu gibi bırakılır ve dizeyin tersçaprazı alınır. Sayılın tersçaprazı kendisine eşittir ve dizey ile sayıl çarpılırken çarpımın sırası önemli değildir.

5. ${\displaystyle \det(\mathbf {A} ^{\mathrm {T} })=\det(\mathbf {A} )\,}$

   Kare bir dizey için dizeyin dizey değerliği (determinantı) ile o dizeyin tersçaprazının dizey değerliği aynıdır.

6. İki yöneyin, a ve b, nokta çarpımı aşağıdaki gibi hesaplanabilir:

   ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} ^{\mathrm {T} }\mathbf {b} ,}$

   bu çarpımda a_i bⁱ şeklinde Einstein gösterimi kullanılarak yazılabilir. Burada i alt imi ve i üst iminin aynı olması i üzerinden toplama yapılacağı manasına gelmektedir.

7. ${\displaystyle (\mathbf {A} ^{\mathrm {T} })^{-1}=(\mathbf {A} ^{-1})^{\mathrm {T} }\,}$

   Tersi alınabilir bir dizeyin tersçaprazının da tersi alınabilir. Yukarıdaki A dizeyinin tersçaprazının tersi ile tersinin tersçaprazı birbirine eşittir. Herhangi bir dizeyin tersinin tersçaprazının tersi kendisine eşittir. A^−T şeklinde yazım yukardaki eşitlikteki sağ veya sol taraftaki terimlerden herhangi birini ifade etmek için kullanılır.

8. Eğer A kare bir dizey ise bu dizeyin özdeğerleri ile tersçaprazlarının özdeğerleri birbirine eşittir.