Touchard polinomları
Touchard polinomları, Jacques Touchard tarafından 1939'da çalışıldı, ayrıca [1] içinde adlandırılır [2],[3] binomial tipin bir polinom dizisi içeren
ile tanımlanıyor.
burada bir ikinci türün Stirling sayısıdır, yani, bu içinde boyutlu bir kümenin kısımlarının sayısı parçalanmış boş-küme altkümeleridir. (yukarıdaki ikinci gösterim, {parantez} ile, Donald Knuth tarafından tanıtıldı.) inci Touchard polinomlarının 1'de değeri inci Bell sayısıdır, yani boyutun bir kümesinin parçalarının sayısı:
Eğer bir rastgele değişken yani bir Poisson dağılımı ile değeri bekleniyor, ise onun inci momenti dır, baş tanım:
Kullanılan bu tek durum bu hızlı polinom dizisi sağlayabilen binomal tipindir, yani, bunun özdeşinin yeterli dizisidir:
Polinomları her polinomunun 1. derecelik terimin katsayısının 1 olduğu binom türü tek polinom dizisi oluşturur. Touchard polinomlarını her polinomun 1. derecelik terimin katsayısının 1 olduğu binomal tipin tek polinom dizisini oluşturuyor.
Touchard polinomları için Rodrigues-benzeri formül uygundur:
Touchard polinomları için yineleme ilişkisi uygundur
Ve
durumunda, bu Bell sayıları için yineleme formülüne indirgenir.
Kullanılan Şemsiye gösterimi , burada olan formüller:
Touchard polinomlarının üreteç fonksiyonu
Bu ikinci türün Stirling sayıları#üretim fonksiyonunun üreteç fonksiyonuna karşı gelir ve [1] burada üstel Polinomlar için kaynaktır. Ve bir kontur integral gösterimi
Touchard polinomları (ve burada Bell sayıları ile), yukardaki integralin gerçel kısmı kullanılıyor, tam sayı olmayan derecesine genelleştirilebilir:
Notlar
- Roman, Steven (1984). The Umbral Calculus. Dover. ss. 63-64. ISBN 0-486-44139-3.
- Boyadzhiev, Khristo N. "Exponential polynomials, Stirling numbers, and evaluation of some gamma integrals" (PDF). arxiv. 5 Temmuz 2016 tarihinde kaynağından (PDF) arşivlendi. Erişim tarihi: 23 Kasım 2013.
- Brendt, Bruce C. "RAMANUJAN REACHES HIS HAND FROM HIS GRAVE TO SNATCH YOUR THEOREMS FROM YOU" (PDF). 3 Mart 2016 tarihinde kaynağından (PDF) arşivlendi. Erişim tarihi: 23 Kasım 2013.