Erdős–Mordell eşitsizliği

Öklid geometrisinde, Erdős–Mordell eşitsizliği herhangi bir ${\displaystyle \triangle ABC}$ üçgeni ve ${\displaystyle \triangle ABC}$ içindeki ${\displaystyle P}$ noktası için, ${\displaystyle P}$'den kenarlara olan uzunlukların toplamının, ${\displaystyle P}$'den köşelere olan uzunlukların toplamının yarısına eşit veya daha az olduğunu belirten teoremdir. Teorem, adını Macar matematikçi Paul Erdős ve Amerika doğumlu İngiliz matematikçi Louis Mordell'den almıştır. Erdős (1935) eşitsizliği kanıtlama problemini ortaya attı; iki yıl sonra (Louis Mordell & D. F. Barrow 1937) tarafından bir kanıt sağlandı. Ancak bu çözüm çok basit değildi. Sonraki basit ispatlar daha sonra Kazarinoff (1957), Bankoff (1958) ve Alsina & Nelsen (2007) tarafından verilmiştir.

Barrow eşitsizliği, ${\displaystyle P}$'den kenarlara olan uzunlukların ${\displaystyle P}$'den ${\displaystyle \angle APB}$, ${\displaystyle \angle BPC}$ ve ${\displaystyle \angle CPA}$ açıortaylarının kenarları kestiği noktalara kadar olan uzunlukları ile değiştirildiği Erdős–Mordell eşitsizliğinin güçlendirilmiş bir versiyonudur. Değiştirilen uzunluklar daha uzun olmasına rağmen, bunların toplamı yine de köşelere olan uzunlukların toplamının yarısından daha az veya buna eşittir.

Açıklama

Erdős–Mordell eşitsizliği

${\displaystyle P}$, verilen bir ${\displaystyle \triangle ABC}$ üçgeni içerisinde keyfi bir nokta ve ${\displaystyle PL}$, ${\displaystyle PM}$, ${\displaystyle PN}$ ise ${\displaystyle P}$'den üçgenlerin kenarlarına çizilen dikmeler olsun. (Üçgen geniş açılı ise, bu diklerden biri üçgenin farklı bir kenarından geçebilir ve kenarlardan birini destekleyen yani dışa doğru uzatılan doğruda bitebilir.) Sonra söz konusu eşitsizlik aşağıdaki şekilde ifade edilir:

${\displaystyle PA+PB+PC\geq 2(PL+PM+PN)}$

İspat

${\displaystyle \triangle ABC}$ üçgeninin kenarları, a ${\displaystyle A}$ köşesinin karşısında, b ${\displaystyle B}$ köşesinin karşısında ve c ${\displaystyle C}$ köşesinin karşısında olsun, aynı zamanda ${\displaystyle PA=p}$, ${\displaystyle PB=q}$, ${\displaystyle PC=r}$, ${\displaystyle {uzunluk}(P,BC)=x}$, ${\displaystyle {uzunluk}(P,CA)=y}$, ${\displaystyle {uzunluk}(P,AB)=z}$ olsun. İlk önce aşağıdaki ifadeyi kanıtlıyoruz;

${\displaystyle cr\geq ax+by}$.

Bu aşağıdaki ifadeye eşdeğerdir:

${\displaystyle {\frac {c(r+z)}{2}}\geq {\frac {ax+by+cz}{2}}}$.

Sağ taraf ${\displaystyle \triangle ABC}$ üçgeninin alanıdır, ancak sol tarafta r + z en azından üçgenin yüksekliğidir; sonuç olarak sol taraf, sağ taraftan daha küçük olamaz. Şimdi ${\displaystyle P}$'nin ${\displaystyle C}$'deki açıortaya göre simetrisini alalım. ${\displaystyle P}$'nin yansıması için cr ≥ ay + bx olduğunu buluruz. Benzer şekilde, bq ≥ az + cx ve ap ≥ bz + cy olduğu görülür. Bu eşitsizlikleri r, q ve p için çözersek:

${\displaystyle r\geq (a/c)y+(b/c)x}$,

${\displaystyle q\geq (a/b)z+(c/b)x}$,

${\displaystyle p\geq (b/a)z+(c/a)y}$.

Üç ifadeyi birbirine ekleyerek,

${\displaystyle p+q+r\geq \left({\frac {b}{c}}+{\frac {c}{b}}\right)x+\left({\frac {a}{c}}+{\frac {c}{a}}\right)y+\left({\frac {a}{b}}+{\frac {b}{a}}\right)z.}$

bulunur. Pozitif bir sayının toplamı ve çarpmaya göre tersinin AO-GO eşitsizliğine göre en az 2 olması nedeniyle, teorem ispatlanmış olur. Eşitlik yalnızca eşkenar üçgen için geçerlidir ve bu durumda ${\displaystyle P}$ merkez noktasıdır.

Başka bir güçlendirilmiş versiyon

${\displaystyle \triangle ABC}$, bir (${\displaystyle O}$) çemberi içine çizilmiş bir üçgen ve ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \triangle ABC}$'nin içindeki bir nokta olsun. ${\displaystyle D,E,F}$ ise ${\displaystyle P}$ noktasının ${\displaystyle BC,CA,AB}$ kenarları üzerine dik izdüşümleri olsun. ${\displaystyle M,N,Q,}$ ${\displaystyle P}$ noktasının sırasıyla ${\displaystyle A,B,C}$'de (${\displaystyle O}$)'ya teğetlere dik izdüşümleri olabilir, o zaman:

${\displaystyle PM+PN+PQ\geq 2(PD+PE+PF)}$

yazılabilir. Eşitlik ancak ve ancak ${\displaystyle \triangle ABC}$ üçgeni eşkenar ise geçerlidir; (Dao, Nguyen & Pham 2016, Marinescu & Monea 2017)

Bir genelleme

${\displaystyle A_{1}A_{2}...A_{n}}$ dışbükey bir çokgen ve ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle A_{1}A_{2}...A_{n}}$'nin bir iç noktası olsun. ${\displaystyle R_{i}}$, ${\displaystyle P}$ noktasından ${\displaystyle A_{i}}$ tepe noktasına olan uzaklık, ${\displaystyle r_{i}}$ ${\displaystyle P}$ noktasından ${\displaystyle A_{i}A_{i+1}}$kenarına olan uzaklık, ${\displaystyle w_{i}}$ ${\displaystyle P}$ noktasından ${\displaystyle A_{i}A_{i+1}}$ kenarıyla kesişme noktasına kadar olan ${\displaystyle A_{i}PA_{i+1}}$açısının açıortay segmenti olsun, sonra (Lenhard 1961):

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}R_{i}\geq \left(\sec {\frac {\pi }{n}}\right)\sum _{i=1}^{n}w_{i}\geq \left(\sec {\frac {\pi }{n}}\right)\sum _{i=1}^{n}r_{i}}$

olarak yazılabilir.

Ayrıca bakınız

• Üçgen eşitsizliklerin listesi

Kaynakça

• Alsina, Claudi; Nelsen, Roger B. (2007), "A visual proof of the Erdős-Mordell inequality", Forum Geometricorum, cilt 7, ss. 99-102.
• Bankoff, Leon (1958), "An elementary proof of the Erdős-Mordell theorem", American Mathematical Monthly, 65 (7), s. 521, doi:10.2307/2308580, JSTOR 2308580.
• Dao, Thanh Oai; Nguyen, Tien Dung; Pham, Ngoc Mai (2016), "A strengthened version of the Erdős-Mordell inequality" (PDF), Forum Geometricorum, cilt 16, ss. 317-321, MR 3556993.
• Erdős, Paul (1935), "Problem 3740", American Mathematical Monthly, cilt 42, s. 396, doi:10.2307/2301373.
• Kazarinoff, D. K. (1957), "A simple proof of the Erdős-Mordell inequality for triangles", Michigan Mathematical Journal, 4 (2), ss. 97-98, doi:10.1307/mmj/1028988998.
• Lenhard, Hans-Christof (1961), "Verallgemeinerung und Verschärfung der Erdös-Mordellschen Ungleichung für Polygone", Archiv für Mathematische Logik und Grundlagenforschung, cilt 12, ss. 311-314, doi:10.1007/BF01650566, MR 0133060.
• Marinescu, Dan Ștefan; Monea, Mihai (2017), "About a strengthened version of the Erdős-Mordell inequality" (PDF), Forum Geometricorum, cilt 17, ss. 197-202.
• Mordell, L. J.; Barrow, D. F. (1937), "Solution to 3740", American Mathematical Monthly, cilt 44, ss. 252-254, doi:10.2307/2300713.

Dış bağlantılar

• Eric W. Weisstein, Erdős-Mordell Theorem (MathWorld)
• Alexander Bogomolny, "Erdös-Mordell Inequality" @ Cut-the-Knot.
• Erdős-Mordell @ Geogebra

İlave okumalar

• Kazarinoff, Donat K. A simple proof of the Erdős-Mordell inequality for triangles. Michigan Math. J. 4 (1957), No. 2, ss. 97-98, doi:10.1307/mmj/1028988998. Makale
• Seannie Dar & Shay Gueron, A Weighted Erdös-Mordell Inequality, The American Mathematical Monthly Vol. 108, No. 2 (Feb., 2001), ss. 165-168, https://doi.org/10.2307/2695531, Makale
• Liu, Jian and Zhang, Zhi-Hua (2004), An Erdös-Mordell Type Inequality on the Triangle, Araştırma Raporu
• Yu-Dong Wu, Chun-Lei Yu & Zhi-Hua Zhang, (2009), A Geometric Inequality of the Generalized Erdös-Mordell Type, Journal of Inequalities in Pure and Alliped Mathematics, issn: 1443-5756, Volume 10 (2009), Issue 4, Article 106, ss. 1-5, Makale
• Li̇u, J., (2011), A New Proof of the Erdos-Mordell Inequality. International Electronic Journal of Geometry 4, ss. 114-119, Makale
• Jian Liu, (2015), Sharpened versions of the Erdös-Mordell inequality, Journal of Inequalities and Applications, 2015:206, doi:10.1186/s13660-015-0716-2, Makale
• Liu, Jian. (Apr 2018), Two New Weighted Erdős–Mordell Type Inequalities, Discrete & Computational Geometry; New York, Vol. 59, Issue: 3, ss. 707-724, doi:10.1007/s00454-017-9917-4
• Jian Liu, (2019), New Refinements of the Erdös–Mordell Inequality and Barrow’s Inequality, Mathematics 2019, 7(8), 726; https://doi.org/10.3390/math7080726
• Maja Petrovic, Branko Malesevic, Bojan Banjac, (2019), On the Erdos-Mordell Inequality for Triangles in Taxicab Geometry, Makale
• George Tsintsifas, The Erdos-Mordell inequality, Makale