Hankel dönüşümü

Matematikte Hankel dönüşümü, diğer adıyla Fourier–Bessel dönüşümü, herhangi bir f(r) fonksiyonunu sonsuz sayıda birinci tip Bessel fonksiyonlarının J_ν(kr) oranlı toplamı olarak gösterir. Bu dönüşümde ortogonal temeli oluşturan Bessel fonksiyonlarının hepsi aynı ν mertebesindedir. Bu integral dönüşümü ilk kez matematikçi Hermann Hankel tarafından tasvir edilmiştir. Formülü ve ters dönüşümü sırasıyla şu şekilde verilebilir:[1]

${\displaystyle F_{\nu }(k)=\int _{0}^{\infty }f(r)J_{\nu }(kr)\,r\,\mathrm {d} r}$

${\displaystyle f(r)=\int _{0}^{\infty }F_{\nu }(k)J_{\nu }(kr)\,k\,\mathrm {d} k}$

Fourier dönüşümü ile Fourier serisi arasındaki ilişkinin benzeri Hankel dönüşümü ile Fourier-Bessel serisi arasında da vardır. Hankel dönüşümü iki boyutlu Fourier dönüşümünün dairesel olarak simetrik bir versiyonu olarak düşünülebilir; bu nedenle bu dönüşüm fizik ve mühendislikte silindirik veya dairesel simetrinin bulunduğu birçok problemde kullanılır.[2][3]

Dönüşüm tablosu

Bazı yaygın Hankel dönüşümleri şu şekilde gösterilebilir:[4]

${\displaystyle f(r)}$	${\displaystyle F_{0}(k)}$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\frac {\delta (k)}{k}}}$
${\displaystyle {\frac {1}{r}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{k}}}$
${\displaystyle r}$	${\displaystyle -{\frac {1}{k^{3}}}}$
${\displaystyle r^{3}}$	${\displaystyle {\frac {9}{k^{5}}}}$
${\displaystyle r^{m}}$	${\displaystyle {\frac {2^{m+1}\Gamma \left({\tfrac {m}{2}}+1\right)}{k^{m+2}\Gamma \left(-{\tfrac {m}{2}}\right)}},\quad -2<\Re (m)<-{\tfrac {1}{2}}}$
${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {r^{2}+z^{2}}}}}$	${\displaystyle {\frac {e^{-k|z|}}{k}}}$
${\displaystyle {\frac {1}{z^{2}+r^{2}}}}$	${\displaystyle K_{0}(kz),\quad z\in \mathbf {C} }$
${\displaystyle {\frac {e^{iar}}{r}}}$	${\displaystyle {\frac {i}{\sqrt {a^{2}-k^{2}}}},\quad a>0,k<a}$
	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {k^{2}-a^{2}}}},\quad a>0,k>a}$
${\displaystyle e^{-{\frac {1}{2}}a^{2}r^{2}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{a^{2}}}e^{-{\tfrac {k^{2}}{2a^{2}}}}}$
${\displaystyle {\frac {1}{r}}J_{0}(lr)e^{-sr}}$	${\displaystyle {\frac {2}{\pi {\sqrt {(k+l)^{2}+s^{2}}}}}K{\bigg (}{\sqrt {\frac {4kl}{(k+l)^{2}+s^{2}}}}{\bigg )}}$
${\displaystyle -r^{2}f(r)}$	${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}F_{0}}{\mathrm {d} k^{2}}}+{\frac {1}{k}}{\frac {\mathrm {d} F_{0}}{\mathrm {d} k}}}$

${\displaystyle f(r)}$	${\displaystyle F_{\nu }(k)}$
${\displaystyle r^{s}}$	${\displaystyle {\frac {2^{s+1}}{k^{s+2}}}{\frac {\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}(2+\nu +s)\right)}{\Gamma ({\tfrac {1}{2}}(\nu -s))}}}$
${\displaystyle r^{\nu -2s}\Gamma (s,r^{2}h)}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\left({\tfrac {k}{2}}\right)^{2s-\nu -2}\gamma \left(1-s+\nu ,{\tfrac {k^{2}}{4h}}\right)}$
${\displaystyle e^{-r^{2}}r^{\nu }U(a,b,r^{2})}$	${\displaystyle {\frac {\Gamma (2+\nu -b)}{2\Gamma (2+\nu -b+a)}}\left({\tfrac {k}{2}}\right)^{\nu }e^{-{\frac {k^{2}}{4}}}\,_{1}F_{1}\left(a,2+a-b+\nu ,{\tfrac {k^{2}}{4}}\right)}$
${\displaystyle r^{n}J_{\mu }(lr)e^{-sr}}$	Eliptik integraller ile gösterilebilir.[5]
${\displaystyle -r^{2}f(r)}$	${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}F_{\nu }}{\mathrm {d} k^{2}}}+{\frac {1}{k}}{\frac {\mathrm {d} F_{\nu }}{\mathrm {d} k}}-{\frac {\nu ^{2}}{k^{2}}}F_{\nu }}$

Ayrıca bakınız

• Hankel matrisi
• Laplace dönüşümü

Kaynakça

1. Gaskill, Jack D. (1978). Linear Systems, Fourier Transforms, and Optics (İngilizce). New York: John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-29288-3.
2. Weisstein, Eric W. "Hankel Transform" (İngilizce). wolfram.com. 5 Ağustos 2002 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 15 Haziran 2020.
3. Arfken, G. (1985). Mathematical methods for physicists (İngilizce) (3 bas.). Orlando, FL: Academic Press. ISBN 9780120598205.
4. Papoulis, Athanasios (1981). Systems and Transforms with Applications to Optics (İngilizce). Florida: Krieger Publishing Company. ss. 140-175. ISBN 978-0898743586.
5. Kausel, E.; Irfan Baig, M. M. (2012). "Laplace transform of products of Bessel functions: A visitation of earlier formulas" (PDF). Quarterly of Applied Mathematics. 70: 77-97. doi:10.1090/s0033-569x-2011-01239-2. hdl:1721.1/78923.