Laplace dönüşümü

Matematikte, Laplace dönüşümü sınır değer problemi dahil diferansiyel denklemleri çözmekte ve olasılık teorisinde mühendislik alanında zamandan bağımsız doğrusal sistemleri modellemekte kullanılan bir dönüşümdür. Genel anlamda bir fonksiyonun tanım kümesini zamandan frekansa çevirir. Zaman tanım kümesinde çözmesi zor olan differensiyal denklemler frekans tanım kümesinde daha basit cebirsel denklemlere dönüştüğünden diferansiyel denklemleri çözmekte kullanılırlar. Söz konusu yöntem, kolay çözüm avantajına karşın ters Laplace dönüşümünün zorluğu ile dengelenir. Laplace dönüşümünün frekans karakterlerini net bir şekilde göstermesinden dolayı sinyal işlemede kullanılır. İsim babası, bu yöntemi geliştiren Pierre-Simon Laplace'tır.

Verilen bir f(t) fonksiyonunun (tüm t ≥ 0 reel sayıları için tanımlı) Laplace dönüşümü F(s) matematiksel olarak şöyle gösterilir:

${\displaystyle F(s)={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}=\int _{0^{-}}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt.}$

Özellikler ve teoremler

Laplace dönüşümü doğrusal dinamik sistemlerin incelenmesini kolaylaştıran bazı özelliklere sahiptir. En önemli özelliği, türevi ${\displaystyle s}$ ile çarpıma, integrali ${\displaystyle s}$ ile bölmeye dönüştürmesidir. Yani, diferansiyel denklemleri, çözmesi daha kolay olan polinomsal denklemler haline getirir. Denklem çözüldükten sonra ters Laplace dönüşümü ile önceki tanım kümesine dönülür.

Verilen f(t) ve g(t) fonksiyonları ve bunların Laplace dönüşümleri F(s) ve G(s) için

${\displaystyle f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{F(s)\}}$

${\displaystyle g(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{G(s)\}}$

aşağıdaki tablo tek yanlı Laplace dönüşümünün özelliklerinin bir listesidir:[1]

Tek yanlı Laplace dönüşümünün özellikleri

	Zaman tanım	Frekans tanım	Yorum
Doğrusallık	${\displaystyle af(t)+bg(t)\ }$	${\displaystyle aF(s)+bG(s)\ }$	İntegralin temel kurallarıyla kanıtlanabilir.
Frekans Türevlemesi	${\displaystyle tf(t)\ }$	${\displaystyle -F'(s)\ }$
Genel Frekans Türevlemesi	${\displaystyle t^{n}f(t)\ }$	${\displaystyle (-1)^{n}F^{(n)}(s)\ }$	Genel olarak
Türevleme	${\displaystyle f'(t)\ }$	${\displaystyle sF(s)-f(0^{-})\ }$	İntegralin açık hali yazılıp, bu integralde kısmi integrasyon yöntemi kullanılarak bulunabilir.
İkinci Türevleme	${\displaystyle f''(t)\ }$	${\displaystyle s^{2}F(s)-sf(0^{-})-f'(0^{-})\ }$	${\displaystyle f'(t)}$ fonksiyonuna Türevleme özelliği uygulanır.
Genel Türevleme	${\displaystyle f^{(n)}(t)\ }$	${\displaystyle s^{n}F(s)-s^{n-1}f(0^{-})-\cdots -f^{(n-1)}(0^{-})\ }$	İkinci türevle ilgili sonuçtan tümevarımla bulunmuştur.
Frekans Entegrasyonu	${\displaystyle {\frac {f(t)}{t}}\ }$	${\displaystyle \int _{s}^{\infty }F(\sigma )\,d\sigma \ }$
Entegrasyon	${\displaystyle \int _{0}^{t}f(\tau )\,d\tau =u(t)*f(t)}$	${\displaystyle {1 \over s}F(s)}$	${\displaystyle u(t)}$ Heaviside adım fonksiyonudur.
Ölçekleme	${\displaystyle f(at)\ }$	${\displaystyle {1 \over |a|}F\left({s \over a}\right)}$
Frekans öteleme	${\displaystyle e^{at}f(t)\ }$	${\displaystyle F(s-a)\ }$
Zaman öteleme	${\displaystyle f(t-a)u(t-a)\ }$	${\displaystyle e^{-as}F(s)\ }$	${\displaystyle u(t)}$ Heaviside adım fonksiyonudur.
Sarılım (Konvülsiyon)	${\displaystyle (f*g)(t)=\int _{0}^{t}f(\tau )g(t-\tau )\,d\tau }$	${\displaystyle F(s)\cdot G(s)\ }$
Periyodik Fonksiyon	${\displaystyle f(t)\ }$	${\displaystyle {1 \over 1-e^{-Ts}}\int _{0}^{T}e^{-st}f(t)\,dt}$	${\displaystyle f(t)}$ bir periyodik fonksiyon periyot ${\displaystyle T}$ şöyle ki ${\displaystyle f(t)=f(t+T),\;\forall t}$

• Başlangıç değer teoremi:

${\displaystyle f(0^{+})=\lim _{s\to \infty }{sF(s)}}$

• Son değer teoremi:

${\displaystyle f(\infty )=\lim _{s\to 0}{sF(s)}}$, Paydanın kökleri sol taraf düzlemindedir.

son değer teoremi bir fonksiyonun uzun dönem davranışını basit kesirlere ayırma veya diğer zorlu cebir işlemler uygulamaksızın verdiği için yararlıdır. Eğer bir fonksiyonun kökleri sağ taraf düzlemindeyse (örn. ${\displaystyle e^{t}}$ or ${\displaystyle \sin(t)}$) bu formülün davranışı tanımsızdır.

Ayrıca bakınız

• Matematiksel fonksiyonların listesi
• Fourier dönüşümü
• Z-dönüşümü
• Hankel dönüşümü

Dış bağlantılar

• http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi 10 Şubat 2008 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. (Verilen bir fonksiyonun hem Laplace ve Fourier dönüşümlerini, hem de ters dönüşümlerini hesaplayan bir site)

Kaynakça

1. Korn & Korn 1967, ss. 226–227

Bibliyografya

• Korn, G. A.; Korn, T. M. (1967), Mathematical Handbook for Scientists and Engineers, 2nd, McGraw-Hill Companies, ISBN 978-0-07-035370-1