Jeodezik eğrilik

Riemann geometrisi'nde bir ${\displaystyle \gamma }$ eğrisinin ölçüsü jeodezik eğrilik olan ${\displaystyle k_{g}}$ den ne kadar uzak bir jeodezik olduğunu gösterir. Verilen bir ${\displaystyle {\bar {M}}}$ manifoldunda jeodezik eğrilik, ${\displaystyle \gamma }$'nın eğriliği(aşağı bakınız)sadece sıradandır., ama ${\displaystyle \gamma }$ bir ${\displaystyle {\bar {M}}}$ nin bir ${\displaystyle M}$ altmanifoldu üzerinde yatanla sınırlıysa(yani yüzey üzerinde eğrilik için), ${\displaystyle M}$ içindeki ${\displaystyle \gamma }$nın eğriliğine kaynak jeodezik eğrilik ve o genel ${\displaystyle {\bar {M}}}$ manifoldu çevresi içinde ${\displaystyle \gamma }$ eğriliğinden farklıdır.${\displaystyle \gamma }$ nın eğriliği ${\displaystyle k_{n}}$ ile iki faktör üzerinde bağlıdır: ${\displaystyle \gamma }$ nın yönü içinde ${\displaystyle M}$ altmanifoldunun eğriliği (normal eğrilik ${\displaystyle k_{n}}$), bu yalnızca eğrinin yönünden bağımlıdır,ve ${\displaystyle \gamma }$ 'nın eğriliği ${\displaystyle M}$(jeodezik eğrilik ${\displaystyle k_{g}}$) içinde gösterilen bir ikinci derece niceliktir. Burada aradaki ilişki ${\displaystyle k={\sqrt {k_{g}^{2}+k_{n}^{2}}}}$ dır.Özel olarak ${\displaystyle M}$ üzerinde sıfır jeodezik eğrilikler var (bu "düz"dür), böylece ${\displaystyle k=k_{n}}$, Bu alt manifoldu olduğu zaman işte bu nedenle ortam uzayda eğimli görünür .

Tanım

Bir ${\displaystyle {\bar {M}}}$,manifoldu içinde ${\displaystyle \gamma }$ eğriliği yay uzunluğu ile birim tanjant vektör ${\displaystyle T=d\gamma /ds}$ ile ölçeklenir Bu eğrilik ${\displaystyle T}$: ${\displaystyle k=\|DT/ds\|}$ in kovaryant türev normudur.Eğer ${\displaystyle M}$ üzerine ${\displaystyle \gamma }$ yatıyorsa jeodezik eğrilik altmanifolda tanjant uzay üzerinde kovaryant türev ${\displaystyle DT/ds}$ nin izdüşümünün normudur. Tersine normal eğrilik altmanifolda normal demeti üzerinde düşünülen noktada ${\displaystyle DT/ds}$in izdüşüm normudur

Eğer manifold çevresi öklidyen ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ uzayı , ise kovaryant türev ${\displaystyle DT/ds}$ ifadesi ${\displaystyle dT/ds}$ in sadece genel türevidir.

Örnek

Diyelimki${\displaystyle M}$üç boyutlu Öklid uzayı birim küre ${\displaystyle S^{2}}$ içindedir.${\displaystyle S^{2}}$ nin normal eğriliği 1'e eştir, düşünülen yön bağımsızdır. Büyük çember ${\displaystyle k=1}$ ,eğriliği var.bu yüzden sıfır jeodezik eğrilik var, ve bunun için jeodeziklerdir. Yarıçapı daha küçük çember ${\displaystyle r}$ eğriliği ${\displaystyle 1/r}$ ve jeodezik eğrilik ${\displaystyle k_{g}={\sqrt {1-r^{2}}}/r}$ olacak.

Jeodezik eğriliklerin bazı sonuçları

• jeodezik eğrilik ${\displaystyle M}$ altmanifoldu içinde içsel eğrilik hesaplandığında genel eğriliğin dışındadır. ${\displaystyle {\bar {M}}}$ içinde oturan ${\displaystyle M}$ alt manifoldu yolu üzerinde bağımlı değildi.*${\displaystyle M}$ in jeodeziklerinin sıfır jeodezik eğriliği var, bunun söylenene eşdeğeri bu ${\displaystyle DT/ds}$ ifadesi ${\displaystyle M}$ tanjant uzaya ortogonaldir*Öte yandan normal eğrilik altmanifold çevre uzayda yatar kadar sıkı sıkıya bağlıdır, fakat marjinal bir eğri üzerinde ${\displaystyle k_{n}}$ yalnızca altmanifold üzerinde nokta üzerinde bağlıdır ve ${\displaystyle T}$,yönü ama ${\displaystyle DT/ds}$ üzerinde değil*Genel Riemannian geometrisinde,türev çevre manifoldu ${\displaystyle {\bar {\nabla }}}$ in Levi-Civita bağlantısı hesabı için kullanılır :${\displaystyle DT/ds={\bar {\nabla }}_{T}T}$.Bu, alt-manifoldu bir teğet bölümü ve bir doğal parçası halinde böler: ${\displaystyle {\bar {\nabla }}_{T}T=\nabla _{T}T+({\bar {\nabla }}_{T}T)^{\perp }}$. ${\displaystyle M}$ içinde ${\displaystyle \nabla _{T}T}$ teğet kısmı olağan türevidir (bu Gauss-Codazzi denklemleri Gauss denkleminin özel bir durumudur.), eğer normal kısım ${\displaystyle \mathrm {I\!I} (T,T)}$ ise burada ${\displaystyle \mathrm {I\!I} }$ ikinci temel form olarak ifade edilir.
• Gauss–Bonnet teoremi.

Ayrıca bakınız

• Eğrilik
• Darboux çerçevesi
• Gauss–Codazzi denklemleri

Kaynakça

• do Carmo, Manfredo P. (1976), Differential Geometry of Curves and Surfaces, Prentice-Hall, ISBN 0-13-212589-7* Guggenheimer, Heinrich (1977), "Surfaces", Differential Geometry, Dover, ISBN 0-486-63433-7.* Slobodyan, Yu.S. (2001), "Geodesic curvature", Hazewinkel, Michiel (Ed.), Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104.

Dış bağlantılar

• Eric W. Weisstein, Geodesic curvature (MathWorld)