Diferansiyel denklem

Matematikte, diferansiyel denklem, bir ya da birden fazla fonksiyonu ve bunların türevlerini ilişkilendiren denklemdir.[1] Fizik, kimya, mühendislik, biyoloji ve ekonomi alanlarında matematiksel modeller genellikle diferansiyel denklemler kullanılarak ifade edilirler. Bu denklemlerde, fonksiyonlar genellikle fiziksel ya da finansal değerlere, fonksiyon türevleriyse değerlerin değişim hızlarına denk gelir.

Çeşitleri

Diferansiyel denklemler temel olarak iki kola ayrılırlar:

1. Normal diferansiyel denklemler (veya adi diferansiyel denklemler)
2. Kısmi diferansiyel denklemler .

Diferansiyel denklemler bilinmeyenlerin birbirleri ve katsayılarla ilgili konumlarına göre: Doğrusal diferansiyel denklemler , Doğrusal olmayan diferansiyel denklemler olarak da gruplanmaktadır. Doğrusal denklemlerin teorisi gelişmiş olmasına rağmen doğrusal olmayan denklemlerin keyfiyet analizi zordur ve bazen mümkün değildir. Bu durumlarda sayısal analiz teknikleri uygulanır.

Kısmi diferansiyel denklemler, katsayıların durumlarına ve zamana ait türevin mevcudiyetine göre

1. Eliptik diferansiyel denklemler
2. Parabolik diferansiyel denklemler
3. Hiperbolik diferansiyel denklemler şeklinde alt gruplara ayrılırlar.

Son iki tip denklem, zamana ait türevin mevcudiyetinden ötürü evrimsel olarak isimlendirilir.

Modern uygulamaların zorlaması ile ortaya çıkan:

1. Stokastik diferansiyel denklemler
2. Gecikmeli diferansiyel denklemler

tiplerindeki denklemler yukardakilerden farklı olarak değerlendirilebilirler.

Sabit ortamlarda denklemler verilere göre:

1. Başlangıç değer
2. Sınır değer

şeklinde sınıflandırılırlar. Sabit olmayan bir ortamda tanımlı denklemlere Serbest sınır değer problemleri veya Hareketli sınır değer problemleri denir.

Birçok denklemden oluşan ilişkilere denklem sistemi adı verilir.

Diferansiyel Denklemlerin Tarihi

Diferansiyel denklemler, Isaac Newton ve Gottfried Leibniz'in Kalkülüs'ü ortaya atması ile başlar. Isaac Newton, 1671 yılında yayınlanan Methodus fluxionum et Serierum Infinitarum[2] isimli kitabının ikinci bölümünde üç tip diferansiyel denklem tanımlamıştır:

• ${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=f(x)}$
• ${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=f(x,y)}$
• ${\displaystyle x_{1}{\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}+x_{2}{\frac {\partial y}{\partial x_{2}}}=y}$

Tüm durumlarda ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle x}$'in bilinmeyen bir fonksiyonu (ya da ${\displaystyle x_{1}}$ve ${\displaystyle x_{2}}$'nin) ve ${\displaystyle f}$ verilmiş bir fonksiyondur.

Isaac Newton bu ve diğer örnekleri kitabında Sonsuz seriler yöntemini kullanarak çözer ve çözümlerin yalnız bir tane olup olmadığını sorgular.

Jakob Bernouilli 1695 yılında Bernoulli diferansiyel denklemi'ni ortaya attı[3] ve bu denklem şu formda bir Adi diferansiyel denklemdir:

${\displaystyle y\prime +P(x)y=Q(x)y^{n}}$

Sonraki yıllarda Gottfried Leibniz bu denklemin çözümünü, denklemi basitleştirerek bulmuştur.[4]

Yazılım

Maple:[5] dsolve

Xcas:[6] desolve(y'=k*y,y)

Dış bağlantılar

• MIT Professor Arthur Mattuck's Differential Equations Course Homepage : MIT Course Website Kursu, ve Türkçe tercümesi.

Kaynakça

1. Dennis G. Zill (15 Mart 2012). A First Course in Differential Equations with Modeling Applications. Cengage Learning. ISBN 1-285-40110-7. 17 Ocak 2020 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 27 Ağustos 2020.
2. Newton, Isaac. (c.1671). Methodus Fluxionum et Serierum Infinitarum (The Method of Fluxions and Infinite Series), published in 1736 [Opuscula, 1744, Vol. I. p. 66].
3. Bernoulli, Jacob (1695), "Explicationes, Annotationes & Additiones ad ea, quae in Actis sup. de Curva Elastica, Isochrona Paracentrica, & Velaria, hinc inde memorata, & paratim controversa legundur; ubi de Linea mediarum directionum, alliisque novis", Acta Eruditorum
4. Hairer, Ernst; Nørsett, Syvert Paul; Wanner, Gerhard (1993), Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-56670-0
5. "dsolve". 23 Kasım 2013 tarihinde kaynağından arşivlendi.
6. "Symbolic algebra and Mathematics with Xcas" (PDF). 29 Temmuz 2014 tarihinde kaynağından (PDF) arşivlendi.