Sürekli olasılık dağılımları
Olasılık kuramı içinde bir olasılık dağılımı, eğer yığmalı dağılım fonksiyonu bir sürekli fonksiyon ise dağılım da sürekli olarak anılır. Bu demektir ki incelenmekte olan dağılımı gösteren X rassal değişkeni için; tüm reel sayı olan a için
- Pr[X = a] = 0
yani herhangi bir a sayısı için, Xın a değerini alması için olasılık sıfırdır. Eğer X rassal değişkeni için olasılık dağılımı sürekli ise o halde X sürekli rassal değişken olarak isimlendirilir.
Bir Aralıklı olasılık dağılımı bir sıfır olasılığı olan bir olayın ortaya çıkması imkânsızdır denilebilme uygun olamakla beraber bunu bir sürekli dağılım için soylemek imkânsızdır ; çünkü o halde hiçbir değer bulunması imkân dahilinde değildir. Bu bir paradoksdur; ve bunun çözünlenebilmesi X için olasılığın bir sayılamaz sette (örneğin bir aralık matematik uygulanan aralıkta) belirli değerler aldığının ve bunun tek tek olasılıkların toplanması suretiyle elde edilemiyeceğinin farkına varılması ile başarılır.
Alternatif ve daha güçlü bir tanıma göre sürekli olasılık dağılımları terimi yalnızca olasılık yoğunluk fonksiyonu özelligine sahip olan dagilimlar için reserve edilmelidir. Bunlar daha dakik olarak mutlak sürekli adı verilen rassal dağılımlardır [1] Bir rassal değişken Xin mutlak sürekli değişken olması demek X'in, Lebesgue ölçümünün 0 olduğu bir aralıkta herhangi bir verilmiş alt set S içinde bir değer almasının olasılığının 0a eşit olması demektir. Bu tanım, her bir reel sayı olan a için Pr[X =a]=a olması koşulu ile, aynı değildir. Çünkü Lebesgue-ölçümü 0 olan sayılamayan setler bulunmaktadır (örneğin Cantor seti).
Cantor dağılımı gösteren bir rassal değişken, birinci zayif tanıma göre sürekli bir dağılımdır; ancak ikinci alternatif daha sıkı tanıma göre ise (mutlak) olarak sürekli değildir. Bu dağılım aynı zamanda ayrık da değildir ve ayrık ve mutlak sürekli rassal değişkenlerin bir ağırlıklı ortalaması da değildir.
Ancak genellikle pratik uygulamaları için rassal değişkenler çok defa ya ayrık ya da mutlak süreklilerdir ; ama birkaç bileşik dağılım da doğal olarak bulunabilir.
Normal dağılım, tekdüze dağılım (sürekli), beta dağılımı ve gamma dağılımı çok iyi bilinen mutlak sürekli dağılımlardır. Normal dağılım, veya Gauss tip dağılım veya çan eğrili dağılım fiziksel doğada çok bulunmakta ve pratik uygulanmalı istatistikte çok zaman kullanilmaktdir. Buna neden merkezsel limit teoremidir; bu teoreme göre birçok küçük ve bağımsız değiskenlerin toplamı yaklaşık olarak normal değişken ile modelleştirilmesidir.
Kaynakça
- Radon-Nikodym teoremi maddesine bakınız.