Gamma dağılımı

Olasılık kuramı ve istatistik bilim dallarında gamma dağılımı iki parametreli bir sürekli olasılık dağılımıdir. Bu parametrelerden biri ölçek parametresi θ; diğeri ise şekil parametresi k olarak anılır. Eğer k tam sayı ise, gamma dağılımı k tane üstel dağılım gösteren rassal değişkenlerin toplamını temsil eder; rassal değişkenlerin her biri nin üstel dağılımı için parametre ${\displaystyle {\frac {1}{\theta }}}$ olur.

Gamma

Olasılık yoğunluk fonksiyonu
Yığmalı dağılım fonksiyonu
Parametreler	${\displaystyle k>0\,}$ şekil (reel) ${\displaystyle \theta >0\,}$ ölçek (reel)
Destek	${\displaystyle x\ [0;\infty )\!}$
Olasılık yoğunluk fonksiyonu (OYF)	${\displaystyle x^{k-1}{\frac {\exp {\left(-x/\theta \right)}}{\Gamma (k)\,\theta ^{k}}}\,\!}$
Birikimli dağılım fonksiyonu (YDF)	${\displaystyle {\frac {\gamma (k,x/\theta )}{\Gamma (k)}}\,\!}$
Ortalama	${\displaystyle k\theta \,\!}$
Medyan	basit kapalı form yok
Mod	${\displaystyle (k-1)\theta {\text{ for }}k\geq 1\,\!}$
Varyans	${\displaystyle k\theta ^{2}\,\!}$
Çarpıklık	${\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {k}}}\,\!}$
Fazladan basıklık	${\displaystyle {\frac {6}{k}}\,\!}$
Entropi	${\displaystyle k+\ln \theta +\ln \Gamma (k)\!}$ ${\displaystyle +(1-k)\psi (k)\!}$
Moment üreten fonksiyon (mf)	${\displaystyle (1-\theta \,t)^{-k}{\text{ for }}t<1/\theta \,\!}$
Karakteristik fonksiyon	${\displaystyle (1-\theta \,i\,t)^{-k}\,\!}$

Karakteristikler

Bir rassal değişken olan Xin θ ölçek parametresi ve k şekil parametresi ile tanımlanmış bir gamma dağılımı ile ifade edilmesi için şu notasyon kullanılır:

${\displaystyle X\sim \Gamma (k,\theta )\,\,\mathrm {veya} \,\,X\sim {\textrm {Gamma}}(k,\theta ).}$

Olasılık yoğunluk fonksiyonu

Gamma dağılımının olasılık yoğunluk fonksiyonu şu şekilde bir gamma fonksiyonu ile ifade edilebilir:

${\displaystyle f(x;k,\theta )=x^{k-1}{\frac {e^{-x/\theta }}{\theta ^{k}\,\Gamma (k)}}\ \mathrm {for} \ x>0\,\,\mathrm {and} \,\,k,\theta >0.}$

Bu çesit parametrelerle ifade edilme yukarıda verilen bilgi kutusunda ve grafiklerde kullanılmıştır.

Alternatif bir şekilde, gamma dağılımının olasılık yoğunluk fonksiyonu bir şekil parametresi ${\displaystyle \alpha =k}$ ile ölcek parametresinin tersi olan oran parametresi ${\displaystyle \beta =1/\theta }$ kullanılarak şöyle elde edilir:

${\displaystyle g(x;\alpha ,\beta )=x^{\alpha -1}{\frac {\beta ^{\alpha }\,e^{-\beta \,x}}{\Gamma (\alpha )}}\ \mathrm {for} \ x>0\,\!.}$

Eğer ${\displaystyle \alpha }$ bir pozitif tam sayı ise, o halde

${\displaystyle {\Gamma (\alpha )}=(\alpha -1)!}$

Olasılık yoğunluk fonksiyonu her iki şekli de istatistikçiler tarafından yaygın olarak kullanılmaktadır.

Yığmalı dağılım fonksiyonu

Yığmalı dağılım fonksiyonu bir tanzim edilmiş gamma fonksiyonudur ve bir tamamlanmamış gamma fonksiyonu şeklinde şöyle ifade edilir:

${\displaystyle F(x;k,\theta )=\int _{0}^{x}f(u;k,\theta )\,du={\frac {\gamma (k,x/\theta )}{\Gamma (k)}}\,\!}$

Özellikler

Toplama

Eğer i = 1, 2, ..., N için rassal değişken X_iin dağılımı bir Γ(α_i, β) olursa; o halde

${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}X_{i}\sim \Gamma \left(\sum _{i=1}^{N}\alpha _{i},\beta \right)\,\!}$

Ancak bütün Γ(α_i, β) istatistiksel bağımsız olması gerekir.

Gamma dağılımı sonsuz bölünebilirlik özelliği gösterir.

Ölçekleme

Herhangi bir t için tX bir Γ(k, tθ) dağılımı goösterir; bu ifade θnın bir ölçek parametresi olduğunu gösterir.

Üstel ailesi

Gamma dağılımı iki-parametreli üstel ailesinin bir üyesidir ve doğal parametreler değerleri ${\displaystyle k-1}$ ve ${\displaystyle -1/\theta }$; ve doğal istatistikleri ${\displaystyle X}$ ve ${\displaystyle \ln(X)}$ olur.

Enformasyon entropisi

Enformasyon entropisi şöyle verilir:

${\displaystyle {\frac {-1}{\theta ^{k}\Gamma (k)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{k-1}}{e^{x/\theta }}}\left[(k-1)\ln x-x/\theta -k\ln \theta -\ln \Gamma (k)\right]\,dx\!}$

${\displaystyle =-\left[(k-1)(\ln \theta +\psi (k))-k-k\ln \theta -\ln \Gamma (k)\right]\!}$

${\displaystyle =k+\ln \theta +\ln \Gamma (k)+(1-k)\psi (k)\!}$

burada ψ(k) bir digama fonksiyonu olur.

Kullback–Leibler ayrılımı

'Gerçek' dağılım olan Γ(α₀, β₀) ile yaklaşık fonksiyon olan Γ(α, β) arasındaki yönlendirilmiş Kullback-Leibler ayrılması şu fonksiyonla verilir:

${\displaystyle D_{\mathrm {KL} }(\alpha ,\beta ||\alpha _{0},\beta _{0})=\log \left({\frac {\Gamma ({\alpha _{0}})\beta _{0}^{\alpha _{0}}}{\Gamma (\alpha )\beta ^{\alpha _{0}}}}\right)+(\alpha -{\alpha _{0}})\psi (\alpha )+\alpha {\frac {\beta -\beta _{0}}{\beta _{0}}}}$

Laplace dönüşümü

Gamma dağılımının Laplace dönüşümü şudur:

${\displaystyle F(s)={\frac {\beta ^{\alpha }}{(s+\beta )^{\alpha }}}.}$

Parametre tahmini

Maksimum olabilirlilik tahmini

Birbirlerinden bagimsiz ve aynı dagilim gösteren N sayida gozlem , , ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{N})}$, için olabilirlik fonksiyonu sudur:

${\displaystyle L(\theta )=\prod _{i=1}^{N}f(x_{i};k,\theta )\,\!}$

Bundan bir log-olabilirlilik fonksiyonu turetilebiliriz:

${\displaystyle \ell (\theta )=(k-1)\sum _{i=1}^{N}\ln {(x_{i})}-\sum x_{i}/\theta -Nk\ln {(\theta )}-N\ln {\Gamma (k)}.}$

Bunun ${\displaystyle \theta }$'ya gore maksimim değerini bulmak için bu log-olabilirlilik fonksiyonunun birinci turevini alip sifira esitlersek, θ parametresi için maksimum-olabilirlilik kestirimini buluruz:

${\displaystyle {\hat {\theta }}={\frac {1}{kN}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}.\,\!}$

BUnu tekrara log-degisebilirlilik fonksiyonuna koyarsak, elde edilen ifade su olur:

${\displaystyle \ell =(k-1)\sum _{i=1}^{N}\ln {(x_{i})}-Nk-Nk\ln {\left({\frac {\sum x_{i}}{kN}}\right)}-N\ln {(\Gamma (k))}.\,\!}$

Bunu k'ye gore maksimumunu bulmak için birinci turevini aliriz ve bunu sifira esitleriz. Sonus sudur:

${\displaystyle \ln {(k)}-\psi (k)=\ln {\left({\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}\right)}-{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\ln {(x_{i})}\,\!}$

Burada

${\displaystyle \psi (k)={\frac {\Gamma '(k)}{\Gamma (k)}}\!}$

olup bir digamam fonksiyonudur.

k için kapali-sekilli bir çözüm bulunmamaktadır. Bu fonksiyon numerik olarak, hesaplamaya uygun davranis gösterir ve bunun için bir numerik çözüm istenirse, örneğin numerik Newton Yontemi, sonuclar yeterli dakik olur. Bu numerik çözümler için ilk değer ya "momentler metodu" kullanılarak bulunur ya da su yaklasim kullanilabilir:

${\displaystyle \ln(k)-\psi (k)\approx {\frac {1}{k}}\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{12k+2}}\right).\,\!}$

Eğer su ifadeyi kullanirsak

${\displaystyle s=\ln {\left({\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}\right)}-{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\ln {(x_{i})},\,\!}$

k yaklaşık şu değerdedir:

${\displaystyle k\approx {\frac {3-s+{\sqrt {(s-3)^{2}+24s}}}{12s}}}$

Bu genellikle gercek değerden +/- %1,5 hatali olabilecegi bulunmustur. Bu ilk tahminin Newton-Raphson yöntemi için iyileştirilmesi Choi ve Wette (1969) soyle verilmiştir:

${\displaystyle k\leftarrow k-{\frac {\ln k-\psi \left(k\right)-s}{1/k-\psi '\left(k\right)}}}$

burada ${\displaystyle \psi '\left(\cdot \right)}$ trigamma fonksiyonunu (yani digamma fonksiyonunun birinci turevini) ifade eder.

Digamma ve trigamma fonksiyonlarini çok dakiklikle hesaplamak guc olabilir. Fakat, su verilen yaklasim formulleri kullanarak birkaca onemli ondalikli sayiya kadar iyi yaklasim sayilarai bulmak imkâni vardır:

${\displaystyle \psi \left(k\right)={\begin{cases}\ln(k)-(1+(1-(1/10-1/(21k^{2}))/k^{2})/(6k))/(2k),\quad k\geq 8\\\psi \left(k+1\right)-1/k,\quad k<8\end{cases}}}$

ve

${\displaystyle \psi '\left(k\right)={\begin{cases}(1+(1+(1-(1/5-1/(7k^{2}))/k^{2})/(3k))/(2k))/k,\quad k\geq 8,\\\psi '\left(k+1\right)+1/k^{2},\quad k<8.\end{cases}}}$

Ayrıntılar için bakiniz Choi ve Wette (1969).

Bayes tipi minimum ortalama-kareli hata

Bilinen değerde k ve bilinmeyen değerde '${\displaystyle \theta }$, için theta için sonrasal olasilik yogunluk fonksiyonu (${\displaystyle \theta }$ için standard olcek-degeistilmez oncel kullanarak) su elde edilir:

${\displaystyle P(\theta |k,x_{1},...,x_{N})\propto 1/\theta \prod _{i=1}^{N}f(x_{i};k,\theta ).\,\!}$

Su ifade verilsin

${\displaystyle y\equiv \sum _{i=1}^{N}x_{i},\qquad P(\theta |k,x_{1},\dots ,x_{N})=C(x_{i})\theta ^{-Nk-1}e^{-y/\theta }.\!}$

Bunun θ entegrasyonu degiskenlerin degistirilmesi yöntemi kullanılarak mumkun olur. Bunun sonucunda 1/θ ifadesinin

${\displaystyle \scriptstyle \alpha =Nk,\ \ \beta =y}$

parametreleri olan bir gamma dagilimi gösterdigi ortaya cikartilir.

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\theta ^{-Nk-1+m}e^{-y/\theta }\,d\theta =\int _{0}^{\infty }x^{Nk-1-m}e^{-xy}\,dx=y^{-(Nk-m)}\Gamma (Nk-m).\!}$

Momentler (m ile m = 0) orantisi alinarak hesaplanabilir:

${\displaystyle E(x^{m})={\frac {\Gamma (Nk-m)}{\Gamma (Nk)}}y^{m},\!}$

Buna gore theta'nin sonsal dagiligiminin ortalama +/- standart sapma kestiriminin soyle olur:

${\displaystyle {\frac {y}{Nk-1}}}$ +/- ${\displaystyle {\frac {y^{2}}{(Nk-1)^{2}(Nk-2)}}.}$

Gamma dağılım gösteren rassal değişken üretimi

İlişkili dağılımlar

Özel dağılımlar

• ${\displaystyle X\sim \mathrm {SkewLogistic} (\theta )\,}$, then ${\displaystyle \mathrm {log} (1+e^{-X})\sim \Gamma (1,\theta )\,}$

-->

Diğerleri

• Eğer X bir Γ(k, θ) dagilimi gösterirse 1/X k ve θ⁻¹

parametreleri olan bir ters-gamma dagilimi gösterir.

Kaynakça

• R. V. Hogg and A. T. Craig. Introduction to Mathematical Statistics, 4th ed. New York: Macmillan, 1978. (Bak Section 3.3.)
• Eric W. Weisstein, Gamma distribution (MathWorld)
• Engineering Statistics El Kilavuzu.
• S. C. Choi and R. Wette. (1969) Maximum Likelihood Estimation of the Parameters of the Gamma Distribution and Their Bias, Technometrics, 11(4) 683-69