Tekdüze dağılım (sürekli)

Sürekli tekdüze dağılım (İngilizce: continuous uniform distribution) olasılık kuramı ve istatistik bilim dallarında, her elemanı, olasılığın desteklendiği aynı büyüklükteki aralık içinde bulunabilir, her sürekli değer için aynı sabit olasılık gösteren bir olasılık dağılımları ailesidir. Desteklenen aralık iki parametre ile, yani minimum değer a ve maksimum değer b ile, tanımlanmaktadır. Bu dağılım kısa olarak U(a,b) olarak anılır.

Sürekli tekdüze

Olasılık yoğunluk fonksiyonu
Yığmalı dağılım fonksiyonu
Parametreler	${\displaystyle a,b\in (-\infty ,\infty )\,\!}$
Destek	${\displaystyle a\leq x\leq b\,\!}$
Olasılık yoğunluk fonksiyonu (OYF)	${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{b-a}}&{\mbox{eger }}a\leq x\leq b\\\\0&\mathrm {eger} \ x<a\ \mathrm {veya} \ x>b\end{matrix}}\,\!}$
Birikimli dağılım fonksiyonu (YDF)	${\displaystyle {\begin{matrix}0&{\mbox{eger }}x<a\\{\frac {x-a}{b-a}}&~~~~~{\mbox{eger }}a\leq x<b\\1&{\mbox{eger }}x\geq b\end{matrix}}\,\!}$
Ortalama	${\displaystyle {\frac {a+b}{2}}\,\!}$
Medyan	${\displaystyle {\frac {a+b}{2}}\,\!}$
Mod	${\displaystyle [a,b]\,\!}$ aralığında herhangi bir değer
Varyans	${\displaystyle {\frac {(b-a)^{2}}{12}}\,\!}$
Çarpıklık	${\displaystyle 0\,\!}$
Fazladan basıklık	${\displaystyle -{\frac {6}{5}}\,\!}$
Entropi	${\displaystyle \ln(b-a)\,\!}$
Moment üreten fonksiyon (mf)	${\displaystyle {\frac {e^{tb}-e^{ta}}{t(b-a)}}\,\!}$
Karakteristik fonksiyon	${\displaystyle {\frac {e^{itb}-e^{ita}}{it(b-a)}}\,\!}$

Karekteristikler

Olasılık yoğunluk fonksiyonu

Sürekli tekdüze dağılım için olasılık yoğunluk fonksiyonu şöyle ifade edilir:

${\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{matrix}{\frac {1}{b-a}}&\ \ \ \mathrm {eger} \ a\leq x\leq b,\\\\0&\mathrm {eger} \ x<a\ \mathrm {or} \ x>b,\end{matrix}}\right.}$

Sınırda olan değerler, a ve b genellikle teorik bakımdan önemli değildirler; çünkü herhangi bir aralıkta f(x) dx integral değerine ve x f(x) dx değerine ve benzer değerlerine bu sınır değerler hiçbir teorik etkide bulunmazlar. Bazen bu değerler 0 veya 1/(b - a) olarak seçilirler. İkinci alternatif maksimum olabilirlilik yöntemi ile tahmin yapılmak gerektiği zaman pratikte kullanılır. Fourier analiz uygulamak gerektiği zaman f(a) veya f(b) değeri 1/(2(b - a)) olarak seçilir. Böylece bu sürekli tekdüze fonksiyonun birçok integral dönüşümlerinin ters dönüşümü sonucunda (sıfır ölçümü hariç noktaların dışında nerede ise her tarafta birbirine eşit bir fonksiyon yerine) biraz fikir karışıklığına neden olup, özel olarak seçilen tekdüze fonksiyon tekrar elde edilir. Bu çeşit tekdüze fonksiyon, daha önceki haldeki gibi anlam belirsizliği yaratmadan, işaret fonksiyonu ile de uyuşma gösterir.

Yığmalı dağılım fonksiyonu

Yığmalı dağılım fonksiyonu şöyle ifade edilir:

${\displaystyle F(x)=\left\{{\begin{matrix}0&{\mbox{eger }}x<a\\\\{\frac {x-a}{b-a}}&\ \ \ {\mbox{eger }}a\leq x<b\\\\1&{\mbox{eger }}x\geq b\end{matrix}}\right.\,\!}$

Moment-üreten fonksiyon

Sürekli tekdüze dağılım için moment üreten fonksiyon şudur:

${\displaystyle M_{x}=E(e^{tx})={\frac {e^{tb}-e^{ta}}{t(b-a)}}\,\!}$

Bu fonksiyon kullanılarak şu m _k sayıda ham momentleri hesaplanır:

${\displaystyle m_{1}={\frac {a+b}{2}},\,\!}$

${\displaystyle m_{2}={\frac {a^{2}+ab+b^{2}}{3}},\,\!}$

${\displaystyle m_{k}={\frac {1}{k+1}}\sum _{i=0}^{k}a^{i}b^{k-i}.\,\!}$

Bir sürekli tekdüze dağılım gösteren bir rassal değişken icin bu halde beklenen değer

m₁ = (a + b)/2

olur ve varyans şudur:

m₂ - m₁² = (b - a)²/12.

Kümülant üreten fonksiyon

n ≥ 2; için bir [0 1] aralığında bulunan tekdüze dağılımın ninci kümülantı b_b/n, burada b_n ninci Bernoulli sayısıdır.

Özellikler

Borel setlere genelleştirmeler

Bu dağılım reel aralıklardan daha karmaşık setlere genelleştirilebilir. Eğer, S pozitif ve sonlu ölçümlü bir Boral seti üyesi ise S üzerindeki bir tekdüze olasılık dağılımı şöyle tanımlanır. S dışında ise, tekdüze olasılık yoğunluk fonksiyonu 0 olur, S içinde ise 1/K ye sabit olarak eşittir ve burada K S setinin Lebesque ölçümü olur

Sırasal istatistikler

X₁, ..., X_n U(0,1) dağılımından her biri bağımsız ve aynı dağılımlı örneklemler olsun. X_(k) bu örneklem için kinci sıralama istatistiği olsun. O zaman X_(k) için olasılık dağılımı parametreleri k ve n - k + 1 olan bir Beta dağılımı olur. Bu beta dağılımının beklenen değeri

${\displaystyle \operatorname {E} (X_{(k)})={k \over n+1}.}$

olur. Q-Q grafikleri yapılırken bu gerçek kullanılır.

Bu beta dağılım için varyans şöyle ifade edilir:

${\displaystyle \operatorname {Var} (X_{(k)})={k(n-k+1) \over (n+1)^{2}(n+2)}.}$

'Tekdüzelilik'

Bir tekdüze dağılım gösteren bir rassal değişkenin sabit uzunlukta bir aralığa düşme olasılığı, bu aralığın konumunun aralık dağılımın destek alanı tarafından kapsandığı sürece, bağımsızdır; ancak aralığın büyüklüğü bağımlıdır. Bu şöyle matematiksel olarak gösterilebilir:

Eğer X ≈ U(0,b) ise ve sabit d > 0 için, [x, x+d] [0,b]nin bir alt aralığı ise, o halde

${\displaystyle P\left(X\in \left[x,x+d\right]\right)=\int _{x}^{x+d}{\frac {\mathrm {d} y}{b-a}}\,={\frac {d}{b-a}}\,\!}$

Bu ifade xden bağımsızdır. Bu gerçek, tekdüze dağılımının isimlendirilmesinde ön planda rol oynamıştır.

Standart tekdüze dağılım

Eğer aralık parametreleri için ${\displaystyle a=0}$ ve ${\displaystyle b=1}$ ise, ortaya çıkan U(0,1) dağılımına standart tekdüze dağılım adı verilmektedir. Standart tekdüze dağılımın bir ilgi çeken özelliği şudur: Eğer u₁ bir standart tekdüze dağılım gösterirse, o zaman 1-u₁ de standart tekdüze dağılım gösterir.

İlişkili dağılımlar

Eğer X bir standart tekdüze dağılım (yani U(0,1)) gsteriyorsa:

• Y = -ln(X)/λ ifadesi λ (oran) parametresi olan bir üstel dağılım gösterir.
• Y = 1 - X^1/n ifadesi 1 ve n parametreleri olan bir beta dağılımı gösterir. Bundan çıkartılan önemli bir sonuç standart tekdüze dağılımın, 1 ve 1 değerde parametreleri olan bir beta dağılımının özel bir hali olduğudur.

Diğer fonksiyonlar ile ilişkiler

Her geçiş noktası için aynı işlem kuralları kullanılığı zaman, olasılık yoğunluk fonksiyonu da şu Heaviside basamak fonksiyonu terimleriyle de ifade edilebilir.

${\displaystyle f(x)={\frac {\operatorname {H} (x-a)-\operatorname {H} (x-b)}{b-a}},\,\!}$

yahut bir dikdortgen fonksiyonu ile şöyle ifade edilebilir:

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{b-a}}\,\operatorname {rect} \left({\frac {x-\left({\frac {a+b}{2}}\right)}{b-a}}\right).}$

İşaret fonksiyonunun geçiş noktası hakkında hiçbir fikir karışıklığı ortaya çıkmaz. Geçiş noktalarında yarı-maksimum işlem kuralı kullanılarak bir tekdüze dağılım bir işaret fonksiyonu terimleri ile şu şekilde ifade edilebilir:

${\displaystyle f(x)={\frac {\operatorname {sgn} {(x-a)}-\operatorname {sgn} {(x-b)}}{2(b-a)}}.}$

Uygulamalar

Çıkarımsal istatistikte bir basit sıfır hipotezin test istatistiği olarak p-değeri kullanılırsa ve test istatistiği için dağılım sürekli ise, o zaman eğer sıfır hipotez doğru ise test istatistiği 0 ve 1 arasında sürekli standart tekdüze olarak dağılım gösterir.

Tekdüze dağılımdan örnekleme

Simulasyon denemelerinin işletilip sonuçlar alınmasında, sürekli tekdüze dağılımı kullanılması simulasyon tekniğinin vazgeçilmez bir ögesidir. Komputer yazılım dillerinin hemen hepsi, sözde-rastgele sayıların üretilmesi için özel komuta(lar) içermektedir; bu sözde-rastgele sayılar aslında bir standart tekdüze ( yani U(0,1)) dağılımından elde edilirler.

Eğer, u değeri bir standart tekdüze dağılımından alınan örnek bir sayı ise,

a+(b-a)u

ifadesi a ve b parametreli bir sürekli tekdüze dağılımdan alınan rastgele bir sayı olur.

Herhangi bir dağılımdan örnekleme

Herhangi rastgele seçilmiş dağılımdan örnek alma işlemi uygulanmasında sürekli tekdüze dağılımı önemli bir rol oynar. Kullanılan bir genel yöntem ters dönüşümlü örnekleme yöntemidir ve bu yöntem hedef olan dağılım için yığmalı dağılım fonksiyonunu kullanır. Bu yöntem teorik calışmalar için özel önem taşır. Bu yöntemi kullanırken karmaşık işlemleri gerektirebilen, hedef değişken için yığmalı dağılım fonksiyonunun tersini almak gerektedir. Daha kolay işlemleri gerektiren, özellikle yığmalı dağılım fonksiyonlarının kapalı şeklinin bilinmediği hallerde kullanılmak üzere, alternatif yöntemler geliştirilmiştir. Böyle karakterde bir yöntem kabul etmeme örneklemesi dir.

Normal dağılım ters dönüşüm yönteminin etkin olarak kullanılamasına örnek olan önemli bir dağılımdır. Ancak, bu dağılım için Box-Muller dönüşümü adını taşıyan bir kesin bir dönüşüm yöntemi de bulunmaktadır. Bu yöntem kullanılarak iki bağımsız tekdüze dağılımlı rassal değişkeni ters dönüşüm yöntemi kullanılarak iki bağımsız normal dağılım gösteren rassal değişkene çevirilir.