Temel aritmetik
Temel aritmetik, aritmetiğin en basit kısmıdır ve toplama, çıkarma, çarpma, bölme gibi işlemlerden oluşur.
Temel aritmetik, doğal sayılar ile başlar ve rakamlarla veya daha genel bir ifade ile sayılarla yazılır. Bu rakam çiftleri ile yapılan çarpma ve bölme işlemi sonucu, çarpım tablosu ezberlenerek kolayca elde edilebilir.
Ayrıca kesir ve sayı doğrusu üzerinde bulunan negatif sayılar da temel aritmetiğin konularındandır.
Basit toplama, çıkarma ve çarpma işlemleri için önceleri abaküs kullanılıyordu. Şu an Asya'nın birçok ülkesinde hâlâ kullanılıyor. Hesap makinesi gibi modern hesaplama araçları temel aritmetik işlemleri gerçekleştirebilir.
Rakamlar
Rakam, sayıları yazılı olarak göstermeye yarayan semboldür. Sayısal sistemde tek bir rakam, farklı kültürlerdeki sembolleri her ne kadar farklı olsa bile, diğerlerinden farklı bir değere sahiptir.
Modern kullanımda, sembollerde daha çok Arap rakamları tercih edilir. Bu rakamlar sırasıyla şunlardır:
0, sıfır. Bir niteliğin yokluğunu temsil eder. Örneğin; "burada hiç çubuk yok" ifadesi "buradaki çubuk sayısı 0'dır" anlamına gelir.
1, bir. Tek bir ögeyi ifade eder. Örneğin; burada bir çubuk var: I
2, iki. Bir öge çiftini ifade eder. Örneğin; burada iki çubuk var: I I
3, üç. Üç ögeyi ifade eder. Örneğin; burada üç çubuk var: I I I
4, dört. Dört ögeyi ifade eder. Örneğin; burada dört çubuk var: I I I I
5, beş. Beş ögeyi ifade eder. Örneğin; burada beş çubuk var: I I I I I
6, altı. Altı ögeyi ifade eder. Örneğin; burada altı çubuk var: I I I I I I
7, yedi. Üç ögeyi ifade eder. Örneğin; burada yedi çubuk var: I I I I I I I
8, sekiz. Sekiz ögeyi ifade eder. Örneğin; burada sekiz çubuk var: I I I I I I I I
9, dokuz. Dokuz ögeyi ifade eder. Örneğin; burada dokuz çubuk var: I I I I I I I I I
Herhangi bir sayısal sistem, birden fazla rakamın bulunduğu tüm sayıların değerini tanımlar.
Toplama
| + | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 2 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
| 3 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 4 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 |
| 5 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 |
| 6 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
| 7 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
| 8 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 |
| 9 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 |
İki sayının toplanması işleminde artı işareti (+) kullanılır.
İki doğal sayıyı toplama ne anlama gelir?
Örneğin; üç sepetimiz olsun. Birinci sepette beş elma, ikinci üç elma bulunsun. Son sepet ise boş olsun (yukarıda bahsedilen örneğe göre 0 elma bulunsun). Birinci ve ikinci sepetteki elmaların tümünü üçüncü sepete koyalım. Şimdi üçüncü sepette 8 elma oldu. Bu, beş elma ile üç elmanın kombinasyonu sekiz elma eder. Bu, şöyle de ifade edilebilir: "beş artı üç sekiz eder" veya "üç artı beş sekiz eder" veya "beş artı üç sekize eşittir" ya da "sekiz, beş ile üçün toplamıdır".
Toplama sembolü "artı" (+) ile ifade edilir. Bu durumda, "beş artı üç sekize eşittir" ifadesi, sembolik olarak şöyle yazılabilir: 5 + 3 = 8. Toplanan iki sayının sırası önemli değildir. Yani, 3 + 5 = 5 + 3 = 8. Bu, toplama işleminin değişme özelliğidir.
Örnek
653 ile 274 sayılarının toplamının sonucunu bulalım. Basamakları aynı hizaya gelecek şekilde ikinci sayıyı birincisinin altına yazalım.
| 6 | 5 | 3 |
| 2 | 7 | 4 |
İkinci sayının altına bir yatay çizgi çizelim ve üstüne artı işaretini koyalım. Toplama işlemi, birler basamağından (en sağdan) başlar. Birinci sayının birler basamağının sayı değeri 3, ikincisininki 4'tür. Üç ile dördün toplamı yedi eder. Böylece çizginin altına birler basamağına 7 yazılır:
| 6 | 5 | 3 | |
| + | 2 | 7 | 4 |
| 7 |
Sonra, onlar basamağı gelir. Birinci sayının onlar basamağının sayı değeri 5, ikincisininki 7'dir. Beş ile yedinin toplamı on iki eder. 12'de iki rakam vardır. Son rakamı (yani 2) çizginin altına onlar basamağına yazılır. Elde (yani 1), ilk sayının yüzler basamağının üstüne yazılır.
| 1 | |||
| 6 | 5 | 3 | |
| + | 2 | 7 | 4 |
| 2 | 7 |
Sonra, yüzler basamağı gelir. Birinci sayının yüzler basamağının sayı değeri 6, ikincisininki 2'dir. Altı ile ikinin toplamı sekiz eder. Elde 1 olduğundan dolayı, sekiz ile bir toplanır. Toplam (9) çizginin altına yüzler basamağına yazılır.
| 1 | |||
| 6 | 5 | 3 | |
| + | 2 | 7 | 4 |
| 9 | 2 | 7 |
Toplanacak basamak kalmadığından dolayı toplama algoritmesı tamamlanmış oldu ve toplama sonucu;
- 653 + 274 = 927.
Çıkarma
Matematikte çıkarma işlemi miktardaki azaltmayı ifade eder. Bu işlemin sonucu, iki sayı arasındaki farktır.
Çıkarma sembolü "eksi" (-) ile ifade edilir. Örneğin;, "beş eksi üç ikiye eşittir" ifadesi, sembolik olarak şöyle yazılabilir: 5 - 3 = 2.
Toplamanın aksine çıkarmada iki sayının sırası önemlidir. Yani, 5 - 3 Şablon:≠ 3 - 5. Çıkarma işleminde değişme özelliği yoktur.
36-5:
| 3 | 6 |
| 5 |
| 3 | 6 | |
| － | 5 | |
| 1 |
| 3 | 6 | |
| － | 5 | |
| 3 | 1 |
- ∴36-5=31.
Çarpma
| × | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 2 | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 | 18 |
| 3 | 0 | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 | 18 | 21 | 24 | 27 |
| 4 | 0 | 4 | 8 | 12 | 16 | 20 | 24 | 28 | 32 | 36 |
| 5 | 0 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 | 40 | 45 |
| 6 | 0 | 6 | 12 | 18 | 24 | 30 | 36 | 42 | 48 | 54 |
| 7 | 0 | 7 | 14 | 21 | 28 | 35 | 42 | 49 | 56 | 63 |
| 8 | 0 | 8 | 16 | 24 | 32 | 40 | 48 | 56 | 64 | 72 |
| 9 | 0 | 9 | 18 | 27 | 36 | 45 | 54 | 63 | 72 | 81 |
İki sayının çarpılmasının sonucu çarpım olarak adlandırılır. İki sayının çarpılması, 'faktör, çarpan, çarpılan olarak da adlandırılır.
Kolomi nokia jiloni
Bu, şöyle de ifade edilebilir: "beş kere üç onbeştir" veya "beş kere üç onbeşe eşittir" veya "onbeş, beş ile üçün çarpımıdır" Çarpma, toplamanın tekrarlanması formunda da görülebilir. İlk faktör, ikinci faktörün kaç kere kendisine ekleneceğini ifade eder.
Çarpma sembolü "çarpma işareti" (×) ile ifade edilir. Örneğin; "beş kere üç onbeşe eşittir" ifadesi, sembolik olarak şöyle yazılabilir:
Bazı ülkeler ve yüksek aritmetikte başka çarpma işaretleri kullanılır. Örneğin; 5 ⋅ 3. Bazı durumlarda, özellikle sayıların harflerle ifade edilebildiği cebirde, çarpma işareti kullanılmaz. Örneğin; xy, x × y anlamına gelir. Çarpılacak iki sayının sırası önemli değildir. Bu yüzden, örneğin, üç kere dört, dört kere üçe eşittir. Bu, çarpmanın değişme özelliğidir.
Örnek
3 ile 729 sayısının çarpımının sonucunu bulalım. Tek rakamdan oluşan çarpan, üç rakamdan oluşan çarpılanın, altına şöyle yazalım:
| 7 | 2 | 9 |
| 3 |
Çarpanın altına yatay bir çizgi çizelim ve çizginin üstüne çarpma işaretini koyalım. Çarpma, birler basamağından başlar. Çarpılanın birler basamağının sayı değeri 9, çarpanınki 3'dür. 3 ile 9 çarpımı 27'dir. Böylece çizginin altına birler basamağına 7 yazılır. Eldeyi (2 rakamını), çizginin altına, henüz yazılmamış onlar basamağına yazalım:
| 7 | 2 | 9 | |
| × | 3 | ||
| 2 | 7 |
Sonra onlar basamağı gelir. Çarpılanın onlar basamağının sayı değeri 2, çarpım 3'dür. Böylece üç kere iki altıdır. Eldeki 2, 6'ya eklenir. Sonuç 8 oldu. 8, çizgini altına onlar basamağına yazılır. 8 tek rakamdan oluştuğuna için elde yoktur.
| 7 | 2 | 9 | |
| × | 3 | ||
| 8 | 7 |
Sonra yüzler basamağı gelir. Çarpılanın yüzler basamağının sayı değeri 7, çarpım 3'dür. Böylece üç kere yedi yirmibirdir. 2 rakamı çizginin altındaki yüzler basamağına yazılır. Elde 1 kalır. Çarpılacak başka basamak olmadığı için, eldeki 1, çizginin altındaki binler basamağına yazılır:
| 7 | 2 | 9 | |
| × | 3 | ||
| 2 | 1 | 8 | 7 |
Böylece çarpma algoritması tamamlanır ve sonuç:
- .
Bölme
Bölme, genellikle çarpma işleminin tersi olarak tanımlanır.
c kere b eşittir a ise, şöyle sembolize edilir:
burada b, olamayan herhangi bir sayı ve a nın b ye bölümü c ye eşittir. Bu şöyle sembolize edilir:
Buna sayısal örnek;
since
- .
Yukarıdaki ifade de, a, bölünen, b the bölen ve c bölüm olarak adlandırılır.
Sıfıra bölme (yani bölen sıfırdır) tanımsızdır.
Bölme gösterimi
Bölme, çoğunlukla bölünenin altına bölen yazılır ve aralarına yatay çizgi çizilerek gösterilir. Örneğin a bölünen, b bölen olursa, bu şöyle sembolize edilir:
Bu, "a bölü b" veya "bde a" diye okunur. Tüm bölme işlemini tek bir satırda şöyle ifade edilir; bölünen ardından eğik çizgi son olarak da bölen. Bu ifade şöyle sembolize edilir:
Bu, çoğu programlama dilinde bölmeyi ifade etmenin genel yoludur.
Bu iki form arasındaki gösterim tipografik formdur. Burada, eğik çizginin üstünde bölünen, altında ise bölen yazılır ve şöyle sembolize edilir:
- a⁄b .
Bir kesri göstermesi için bu formlardan herhangi biri kullanılabilir. Bir bayağı kesir, hem bölünen hem de bölenin tam sayı olduğu bir bölme formudur.
Bölmeyi göstermenin daha basit yöntemi, obelus (başvurma işareti) kullanmaktır. Bu, şöyle sembolize edilir:
Bu form, temel aritmetik haricinde nadiren kullanılır. Bölme işlemini ifade etmesi için obelus tek başına kullanılır. Örneğin hesap makinesinde bir tuş ile ifade edilir.
Bazı kültürlerde "a bölü b" şöyle yazılır: a : b.
Bir sayısı bir kesre bölmek, kesrin alt ve üstündeki sayıların yerlerini değiştirerek, ilgili sayıyla çarpımına eşittir. Bu ifade, örneklerle şöyle sembolize edilir:
